今天继续三角函数的漫谈。

三角函数这个话题也就是再海阔天空几回就能聊完，聊完了三角函数，我们就换个话题，聊聊空间结构：一维的，二维的，三维的，四维以及更高维度的这些空间，是怎么建构的，我们该怎么去描述它们——当然，更多的关注点应该在于怎么用数字来标定、计算我们熟悉的二维和三维空间——其实我想说的，就是怎么用坐标和向量来解释、拆卸、以及搭建平面的、立体的几何结构——和我们中学数学相关的课程就是平面几何、立体几何、直线、圆、圆锥曲线这些章节。

把话题扯回来，继续三角函数话题。

话说学习三角函数，绕不开三角函数图像。

学习三角函数图像，又绕不开正弦函数图像。

因为它具有让人无法拒绝的平滑和优美，尤其那种不慌不忙的周期性的波动，简单而和谐，会给人一种“人生当如是，寂寥又如何？晨来峰观日，暮至居田园”的感慨。

余弦函数图像只是和它差一个“初相位”而已，它们俩在形态上是一模一样的。你只要扯住余弦函数，在x方向上平移一下下，不用费多大劲就能让它和正弦函数重合。

其实，它们俩本来就是一个人，只是出发点不同，被我们在不同的时间看到，误以为是两个人而已。

打住！

你刚才说正弦和余弦函数的图像只差一个“初相位”？

初相位是什么意思？

初相位就是图像的起点位置呀，比如sinx的初相位就是0，也就是说在自变量没有赋值以前，函数图像是从0点开始出发的：

如果是sin(x+π/6)，就意味着，在给函数赋值之前，函数本身就有了一个初始值π/6，一旦开始给x从0开始赋值，函数的图像就会从比0早π/6的位置开始：

您看，红色的sin(x+π/6)总是比绿色的sinx早π/6。

这个π/6，就是这个正弦函数的“初相位”。

如果是sin(x+π/2)，就意味着，在给函数赋值之前，函数本身就有了一个初始值π/2，一旦开始给x从0开始赋值，函数的图像就会从比0早π/2的位置开始——它其实就是一个余弦函数cosx曲线:

这个初相位，就是我们数学课本上说的sin(ωx+φ)的φ，我这里只是引入了物理学上介绍简谐运动的一个叫法而已，如果你的物理课本现在没有了简谐运动的章节，你可能确实不太容易知道物理学上最常见的振幅、频率、周期、相位、初相位这些名词，其实，它就是和数学上Y=Asin(ωx+φ)这个数学表达式对应的物理名称而已。

我们熟悉的简谐震动，以及电学中必学的交流电波形，都可以用正弦函数曲线来描述：

A：振幅——就是指把x轴作为基准，图像上下波动的y值大小，x轴之上是A，之下是-A。

ω：角频率。这个系数决定了角度转动的速度，因而也决定了函数的周期；T=2π/ω。

ω=1就是1倍速正常转动，在单位圆上转一圈用2π时间；ω=2就是2倍速度转动，转一圈用π时间；

所谓频率就是反过来的一个指标：是指在固定的时间范围内，你能完成多少个周期，也就是ω=2π/T.

Ok， 现在我们实操一下，要画一个y=3sin(2x-π/4)的图像，该怎么画呢？这个图像和sinx的原始图像又有什么样的关系呢？

我们可以先在脑子里想象一下，然后再画。

首先，这个3sin(2x-π/4)的周期可以确定下来，它是角度以两倍的速度转圈的，那它就用一个π时间就可以转一圈，一个周期是π。

它的图像比sinx的图像要晚，初相位是-π/4，也就是要比sinx晚π/4个相位，但现在角度转圈的速度是正常速度的两倍（ω=2），那它只用原来一半的时间就可以到达π/4，体现在一倍水准的x轴上，就是比sin2x晚了π/8个相位，我们可以把倍数2提出来，只是观察在一倍情况下的差别你就明白了:

3sin(2x-π/4)=3sin(2(x-π/8))。

同时，图像的振幅（最大最小值）是sinx的3倍，那直接纵向拉长它就得了：

最后的图像就是这样的：

峰中凌乱，缘因初起，跟不上就是跟不上啊。

山和山走不到一块，还不是因为山根根儿不一样？