有用
在之前的课程中，我们主要学习了命题逻辑，分析了使用 AND、OR、NOT 等连接词由具有真值的命题形成的复合语句。
今天，我们将升级到量词逻辑，它允许我们将对象集合作为一个整体进行推理。
量词逻辑使用量词来指定语句的范围--我们是在讨论全部、部分，还是一个群体的特定子集。我们要介绍的三个主要量词是通用量词、存在量词和特殊量词。
让我们把它们细分一下：
首先，通用量词指的是群体中的所有成员。它们表示一个命题对我们考虑的每一个元素都是真的。
标准符号表示法是
(x) ，意思是 "对于所有 x，_______"。
因此，如果我们的讨论范围是书籍，(x) 的意思是 "对于所有书籍 x，_____"。
例如
(x) 书籍 x 有页面。
这就是说，对于所有的书来说，命题 "x 有书页 "是真的。每本书都有书页。
接下来，存在量词表示命题至少对一个或某些元素为真。其符号为
(∃x) ，意思是 "至少存在一个 x，这样_____"。
因此，对于我们的图书宇宙，(∃x) 表示 "至少存在一本书 x，这样_____"。
例如
(∃x) 书 x 长度超过 500 页。
这说明至少有一本书的页数超过 500 页--命题 "x 超过 500 页 "对某本书来说是真的。
特定量词指的是宇宙的一个特定子集，表示为
(∃x) ，意思是 "对于某些 x，____"。
所以 (∃x) 书籍 x 有 100 多年的历史。
这意味着有一些特定的书有 100 多年的历史。它比存在式 (∃x) 只适用于一本书或一些书的局限性更大。
现在，我们已经介绍了量词的基础知识，让我们来看看一些重要的规则和性质：
- 顺序并不重要--(x)A(x) 在逻辑上等价于 (x)A(x)。我们可以翻转通用量词。
- 普遍否定式比存在式更强--(x)¬A(x) 表示没有 x 具有属性 A。
- 存在性并不意味着普遍性--(∃x)A(x) 并不意味着 (x)A(x)。某些 x 具有属性 A 并不意味着所有 x 都具有属性 A。
- 普遍性分布于条件性--(x)(P(x)→Q(x)) = (P(x))→(Q(x)) 。如果条件对所有 x 都成立，那么各成分也都成立。
这些规则有助于规范量化语句之间的逻辑关系。我们来看几个例子：
考虑宇宙中的人。
(x) x 人身高超过 5 英尺。 （假--并非所有的人身高都超过 5 英尺）
(∃x) x 人身高超过 7 英尺。 （真--有些人身高超过 7 英尺）
(x)¬ 人 x 身高超过 10 英尺。 （真--没有人身高超过 10 英尺）
最后一个否定语句比单纯的 "有些人身高不足 10 英尺 "的说法更有力。
下一个例子
(∃x) 书本 x 有 500 多页。(有些书超过 500 页）
(x) x本书超过500页。(假--不是所有的书都超过 500 页）。
这说明存在性并不意味着普遍性--有些书符合标准并不意味着所有的书都符合标准。
最后，举一个分配的例子：
(x) （x 人年轻 → x 人健康）
= 如果一个人年轻，他就是健康的。
等价于
(x 人年轻）→（x 人健康）
对于所有人来说，如果他们年轻，他们就是健康的。
条件关系在普遍量化中都成立。
这些例子说明了量化语句之间的主要逻辑关系。现在，让我们用所学的量词来评估一些示例论证：
论证：
有些狗超过 100 磅。
没有猫超过 100 磅。
因此，有些超过 100 磅的动物不是猫。
让我们把它形式化：
宇宙 = 动物
D(x) = x 是狗
C(x) = x 是一只猫
O(x) = x 超过 100 磅
(∃x)(D(x) ^ O(x)) - 存在一只超过 100 磅的狗 x。
(x)¬(C(x) ^ O(x)) - 没有超过 100 磅的猫。
由此，我们可以推导出
(∃x)(O(x) ^ ¬C(x)) - 存在超过 100 磅的动物 x，但它不是猫。
原来的论证是有效的。准备好尝试形式化了吗？
论证：
有些长颈鹿身高超过 20 英尺。
没有大象身高超过 20 英尺。
因此，有些身高超过 20 英尺的动物不是大象。
试一试，检查一下你的作业！
形式化：
设 G(x) = x 是长颈鹿
设 E(x) = x 是大象
设 T(x) = x 身高超过 20 英尺
(∃x)(G(x) ^ T(x))
(x)¬(E(x) ^ T(x))
∴ (∃x)(T(x) ^ ¬E(x))
总结一下要点
- 通用量词指的是一组中的 "全部
- 存在量词指 "某些 "或 "至少一个 "元素
- 特殊量词指定 "某些特殊 "子集
- 量词的顺序
-普遍否定性比存在性更强
-条件分布在全称量词上
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