当帕斯卡三角形（杨辉三角形）中的偶数被点取代、奇数被间隙取代时，会产生分形，在不同大小的尺度上呈现出复杂的重复图案。这些分形图像有一个重要的实际用途——为材料科学家提供模型，帮助生产具有新性质的新结构。

1986年，研究人员发明了在微米尺度上的金属丝三角形垫片，它几乎与帕斯卡三角形在奇数位置穿孔的形状完全相同。他们得到的最小三角形的面积约为1.38平方微米，科学家们还观察到在磁场中这些垫片的许多奇特的超导性质。

古希腊哲学家从未考虑过四次幂, 因为他们的数学根植于几何学, 而四次幂意味着第四个维度. 但在公元第一个千年结束时, 在中东、印度和中国, 天文学家和哲学家开始使用任意次数的多项式. 大约在公元1000 年, 在这三个数学传统中几乎同时出现了二项式定理

其中是如下三角形数阵第n+1行的第k+1项。

上面的三张图中的数阵在中国被称为杨辉三角, 在欧洲被称为帕斯卡三角(Pascal's triangle)。杨辉三角形,又称贾宪三角形,帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

它的每一项都是其肩上的两项之和。更有意思的是在右边第一张图中我们可以看到, 从最右侧开始沿从右上方到左下方的斜线将数相加, 结果恒等于相加的最后一项右下方的数，即：1+3+6+10+15=35。

由此可以看出杨辉三角满足以下性质：

• 性质1： 每一行都是对称的, 且两端的数都是1;
• 性质2： 每一行的数呈中间大、两边小的特点;
• 性质3： 从第三行起, 不在两端的任意一个数, 都等于上一行中与这个数相邻的两数之和.

该性质最早记录在犹太裔西班牙哲学家埃兹拉 (Rabbi Abraham ben Meir ibn Ezra, 1090—1167) 的占星书中. 它也出现在中国朱世杰 1303 年的手稿《四元玉鉴》和印度那罗延 (Narayana Pandit, 约 1340—1400) 1356 年的《伽尼塔·考穆迪》(Ganita Kaumudi, 意为“数学月光”) 中。可以表述为如下形式:

这个面积公式在如今写作：

相隔数百年后，大数学家皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）使用该性质求出了曲线y=x^k下从 0 到a的区域的面积。其中k是任意正整数。

费马在微积分中的重要贡献为费马引理（Fermat's theorem）：

通过证明可导函数的每一个可导的极值点都是驻点（函数的导数在该点为零），该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。

利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题。

费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，对微积分做出了重大贡献。