C(8,4)=8!/4!(8−4)!=70

在数学中，组合是从n个不同元素中选出m个元素的所有可能的选择。公式C上m下n，即C(n,m)，表示的就是这种组合的数量。本文将探讨多种计算C(n,m)的算法，包括直接计算、递归、动态规划等，并分析各种算法的优缺点。

直接计算法

直接计算法是基于组合公式的直接计算。公式C(n,m)的定义为：

C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)

其中，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)(n-2)...*1。

直接计算法的步骤如下：

（1）计算n!，即n的阶乘。

（2）计算m!，即m的阶乘。

（3）计算(n-m)!，即(n-m)的阶乘。

（4）将n!除以m!和(n-m)!的乘积，得到C(n,m)的值。

注意事项：这种方法简单直接，但当n和m都很大时，阶乘的计算量会非常大，可能会导致溢出。此外，当n和m相差较大时，这种方法可能会因为浮点数的精度问题而导致结果不准确。

递归法

递归法是基于组合公式的递归性质。公式C(n,m)可以表示为：

C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)

递归法的步骤如下：

（1）如果m等于0或n等于m，返回1。这是因为C(n,0)和C(n,n)都等于1。

（2）否则，递归计算C(n-1,m-1)和C(n-1,m)。

（3）将C(n-1,m-1)和C(n-1,m)的和作为C(n,m)的返回值。

注意事项：递归法虽然简洁易懂，但当n和m都很大时，递归的深度会非常大，可能会导致栈溢出。此外，递归法也有很多重复的计算，可以通过记忆化搜索或动态规划来优化。

动态规划法

动态规划法是利用了组合公式的递推性质，可以有效地避免重复计算。动态规划法的步骤如下：

（1）创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示C(i,j)。

（2）初始化dp数组。当j等于0或i等于j时，dp[i][j]等于1；否则，dp[i][j]等于0。

（3）从i等于2开始，到n结束，遍历dp数组的第i行。对于每一个j，从1开始，到i结束，更新dp[i][j]的值为dp[i-1][j-1]和dp[i-1][j]的和。

（4）返回dp[n][m]作为C(n,m)的值。

注意事项：动态规划法虽然可以有效地避免重复计算，但当n和m都很大时，需要的空间也会非常大。此外，当n和m相差较大时，这种方法可能会因为浮点数的精度问题而导致结果不准确。

在实际应用中，我们可以根据具体的需求和资源限制选择合适的算法。如果需要快速计算出精确的结果，可以使用直接计算法；如果需要节省空间，可以使用递归法；如果需要避免重复计算，可以使用动态规划法。无论哪种方法，都需要注意数值溢出和精度问题。