前言
拓扑学是一门数学分支，研究的是几何图形变形下的不变性质。它源于欧氏空间中的维度理论，随着时代的发展，从几何上升到了抽象道路上。然而，拓扑学的发展经历了一个漫长而复杂的历程，经历了人们的努力和探索，逐渐形成了现在的样子。这篇文章将为您介绍拓扑学的发展历程，以及它在数学和其他学科中所起的作用。
古希腊时期
拓扑学的起源可以追溯到古希腊时期。当时，人们开始思考什么是空间，如何描述它以及如何计算它。这个时期的哲学家和数学家主要致力于研究欧氏空间的性质和几何形状。
其中最有名的数学家是欧几里得，他提出了欧氏几何的公理体系，并在其基础上建立了一套完整的几何学体系。这套体系包括点、线、平面等基本概念，以及它们之间的关系。
18世纪
进入18世纪，数学开始迈入了一个新时代。人们开始探究更抽象的数学问题。在这个时期，瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）开始研究图形的拓扑性质，他主要关注的是连通性和欧拉特征数。他提出了欧拉公式，为拓扑学的发展奠定了重要的基础。同时，欧拉还研究了环和链的概念，这些概念成为后来拓扑学的核心概念之一。
具体来说，欧拉公式表示为：V - E + F = 2，该公式描述了欧氏空间中多面体的面数、边数和顶点数之间的关系。
其中，V 表示多面体的顶点数，E 表示多面体的边数， F 表示多面体的面数。这个公式表明了多面体的顶点数、边数和面数之间存在一种关系，而且满足这个关系所必须的条件是：在欧氏空间中，任意一个简单凸多面体（简单凸多面体指其表面是连续的平面或曲面，没有任何凹角或竖直面）的顶点数减去边数再加上面数等于2。
因此，欧拉公式实际上是将多面体在欧氏空间中的性质转化为一个简单的公式，使得人们可以更加方便地研究多面体的几何形态和性质，以及对复杂的多面体进行分类和研究。
除了简单凸多面体，欧拉公式还可以适用于其他一些几何图形。例如，如果将一个球体看作一个多面体，那么它的面数为1，边数为0，顶点数为0。虽然代入欧拉公式中就有0 - 0 + 1≠2，但仍然属于欧拉空间。
19世纪
19世纪是拓扑学的起步阶段。在这个时期，拓扑学作为一门独立的学科开始形成。人们开始研究更加抽象的问题，例如如何描述空间中的曲线和曲面。
4.1. 黎曼与他的曲率和曲面传说
德国数学家黎曼（Bernhard Riemann），他生于19世纪初，是拓扑学、复变函数论和代数几何等多个数学领域的先驱之一。他提出了Riemann几何，这是一种非欧几何，在其中，平行线不一定相交。里曼提出了曲率和曲面的概念，并在此基础上研究了复变函数理论。
黎曼在1854年发表了一篇题为《关于多元函数论的若干问题》的论文，其中引入了现代微分几何中定义的“曲面”和“曲率”的概念。他的贡献对于后来微分几何、广义相对论和计算机图形学等领域的发展产生了深远影响。
在该论文中，里曼首先阐述了复变量的基本概念和相关数学原理，然后通过将复变量视为实变量的二元组，并考虑该二元组所构成的平面上曲线的方向性，推导出曲率和曲面的概念。
具体地说，曲率是指曲面在每个点处的弯曲程度，它可以由曲面上的任意两个切向量和它们的叉积算得。而曲面则是指一个在欧氏空间中的局部平面，它可以由曲率确定其局部几何形态。
里曼的曲面理论为后来的微分几何奠定了基础，同时也启发了爱因斯坦提出广义相对论中对于时空的理解。此外，里曼的工作还对计算机图形学和计算机视觉等领域的发展有着深远的影响。
4.2. 庞加莱与他的同伦论
19世纪末期，法国数学家庞加莱（Henri Poincaré）提出了拓扑学的最基本原理——同伦论。这一理论是描述连续变形下的图形的等价性的。在同伦论中，两个曲面需要经过一系列连续变形才能相互转换，这些变形被称为同伦。
同伦论是一种将图形形状的改变看作连续变形的方式，它认为两个图形之间可以通过一系列连续的变形，使得它们最终变成相同的形状，而这些变形过程中不会涉及到图形中任何点的割裂、移动或删除。因此，同伦论可以用来描述空间的连通性、特殊的区域性质和拓扑群等问题。在同伦论中，同伦是指由一个函数族构成的路径，其中每个函数代表着图形在时间上的一个状态，从而将一个图形连续地变形为另一个图形。
同伦论的应用十分广泛。例如，在编写计算机图形学程序时，同伦论可以用来判断两个图形是否是同胚的，即它们是否具有相同的拓扑结构。此外，在物理学和化学中，同伦论可以用来分析分子结构的变化和反应过程；在经济学和社会学中，同伦论可以用来研究市场和社会结构的变化和发展。
4.3. 庞加莱和他的三维流形
庞加莱又发现三维空间有许多复杂的形状，这些形状无法通过普通的几何方法描述。他就开始研究三维复形体（简称3-流形）的性质并开创了拓扑学中三维流形的分类方案。
庞加莱（Henri Poincaré）在研究拓扑学中发现，三维空间中存在着许多形状十分复杂的物体，而这些形状无法通过传统的几何方法来描述和理解。因此，他开始研究三维复形体（简称3-流形）的性质，并开创了拓扑学中三维流形的分类方案。
三维流形是指一个拓扑空间，它在局部上同胚于欧几里得空间的一部分，同时整个拓扑空间具有“光滑”的性质。即在局部上，它可以用一个光滑函数来描述，同时在整个空间上的任意两个光滑函数都具有一定的关系。三维流形的研究是拓扑学中的重要内容之一，它涉及到广泛的应用领域，如数学物理、天文学和计算机图形学等。
庞加莱在研究三维流形时，发现这些流形的性质非常复杂，而且很难通过传统的几何方法来描述它们的拓扑结构。为了解决这个问题，他提出了一种新的研究方法——奇点理论（singularity theory），并开创了三维流形的分类方案。
奇点理论是一种研究函数和曲面的奇异点的数学理论，它可以用来描述三维流形中的特殊点和特殊性质。庞加莱利用奇点理论的方法，引入了拓扑不变量，建立了三维流形的分类理论，即所谓的“庞加莱猜想”。
庞加莱猜想是指任何两个三维闭合流形都可以通过有限次割接、粘贴和几何变形得到，这些操作不改变流形的拓扑结构。该猜想的提出激发了人们对于三维流形分类问题的研究，并在数学史上产生了深远的影响。
