理解新概念“中间分数”，从不懂到秒懂

如果问任何一个初中学生，数字0和1之间有多少个分数，必然回答无数个，继续问这些分数的特点，多数学生会说这是真分数(小学的概念)，再探究下去，能不能把这些分数都写完？当然不能，退而求其次，能写多少算多少，我们从最简单的分数开始，例如分母为2的分数，分母为3的分数，分母为4的分数……，写这么多分数需要按一定规范来写，于是如此这般写。

上述认知过程就是对分数，尤其是真分数的逐渐深入认知，也是接下来我们要讲的一道八年级新定义压轴题。

题目

对于0，1以及真分数p，q，r，若p<q<r，我们称q为p和r的中间分数，为了帮助我们找中间分数，制作了下表：

两个不等的正分数有无数多个中间分数，例如：上表中第③行的3个分数1/3、1/2、2/3，有1/3<1/2<2/3，所以1/2为1/3和2/3的一个中间分数，在表中还可以找到1/3和2/3的中间分数2/5、3/7、4/7、3/5.把这个表一直写下去，可以找到1/3和2/3更多的中间分数.

(1)按上表的排列规律，完成下面的填空：

①上表中括号内应填的数为____________；

②如果把上面的表一直写下去，那么表中第一个出现的3/5和2/3的中间分数是_____________；

(2)写出分数a/b和c/d(a、b、c、d均为正整数，a/b<c/d，c<d)的一个中间分数(用含a、b、c、d的式子表示)，并证明；

(3)若s/m与t/n(m、n、s、t均为正整数)都是9/17和8/15的中间分数，则mn的最小值为_____________.

解析：

(1)表中的第1行，分母均为1，第2行，分母均为2，第3行，分母均为3……按这个规律去寻找中间分数：

显然在第1行，分母为1的真分数不存在；

在第2行，分母为2的只有一个真分数1/2，介于0和1之间；

在第3行，分母为3的真分数有1/3、2/3，按大小关系排列为0<1/3<1/2<2/3<1

……

这个规律可以认为是分别用分母为2、3、4……的真分数依次填满0和1之间；

于是第①空便可以填出来了，为2/7；

第②空需要我们先找到3/5和2/3第一次出现在第5行，在第6行时，这两个分数没有中间分数，即没有分母为6的真分数位于这两数之间，同样的在第7行也没有，即没有分母为7的真分数位于这两数之间，此时不忙于继续往下找，先看看已经找到的第一个出现的中间分数，例如1/3、1/2、2/3，可以发现1+2/3+3=1/2，即第一个出现的中间分数，其分子是前后两个分子之和，而分母恰是前后两个分母之和，约分之后即为所求；

因此我们将3/5和2/3的分子、分母分别相加，得到5/8，验证它正好位于这两个分数之间，且分母为8，在第8行；

所以，第一个出现在3/5和2/3的中间分数是5/8；

至此，我们发现寻找中间分数的两个规律，表格中每一行序号代表其分母，第一个出现的中间分数，分子和分母分别等于前后两个分数的分子之和与分母之和；

(2)按前面所寻找到的规律，第一个出现的中间分数是a+c/b+d，它是所有中间分数之一，我们需要证明它比a/b大，并且比c/d小，利用求差比较法，推导如下：

(3)本小题对学生理解“中间分数”概念的深刻程度进行了有效区分，仅仅只能对照表格中的分数去寻找中间分数的学生，这道题会看不懂。

我们需要对表格背后的规律有更深刻的认知，达到不需要表格也能预估中间分数的出现，尤其是第一个中间分数的诞生，如下面视频所示：

对于分数9/17和8/15，第一个中间分数是17/32，接下来它和9/17的中间分数是26/49，它和8/15的中间分数是25/47，这三个中间分数的分母按从小到大排列依次是32、47、49，显然取前两个时，乘积最小，因此mn=32×47=1504.

解题反思：

众所周知，数学学习中，概念的理解尤为重要，它是一切数学知识的基石，离开概念，数学是玩不转的。

在解本题过程中，就存在许多对概念理解不够，面对最后一个小题束手无策的情况，根据前面的表格规律，得知了两个分数间，第一个中间分数是通过分子、分母分别相加而来，那么第二个、第三个呢？其实每两个相邻分数间的第一个中间分数，便是上一轮中间分数的第二、第三个，这从前面的视频中也可以观察出来，但如果这一层堪不破，便无法推导下去。

现在我们可以回到课堂教学中来了，这种理解概念的方法，学生又如何得知呢？我们在每一次数学概念的教学中，到底有没有在教学生如何理解概念呢？再退一步，作为教师，备课时又是如何解读这些数学概念，从而在教学设计中体现呢？

学生不会，得教，教师不会，得学。