1 庞加莱猜想

2000 年致力于“增加和传播数学知识”的非营利组织克莱数学研究所 ( Clay Mathematics Institute ) 要求全世界解决七个数学问题，并向任何能破解一个的人提供 1,000,000 美元。今天除了庞加莱猜想，它们都还没有解决。

亨利·庞加莱 (Henri Poincaré) 是一位法国数学家大约在 20 世纪之交。他在我们现在所说的拓扑学方面做了基础性工作。想法是这样的：拓扑学家需要数学工具来区分抽象形状。对于 3D 空间中的形状如球或甜甜圈，将它们全部分类并不是很难。从某种意义上说，球是这些形状中最简单的。

Poincaré 然后上升到 4 维的东西，并问了一个等价的问题。经过一些修改和发展，该猜想采用了“每个单连通闭 3 流形同胚于 S^3”的形式，实质上是说“最简单的 4D 形状是球体的 4D 等价物”。

一个世纪后的 2003 年一位名叫格里戈里·佩雷尔曼的俄罗斯数学家在现代开放数学论坛arXiv 上发布了庞加莱猜想的证明。Perelman 的证明有一些小漏洞，直接来自美国数学家 Richard Hamilton 的研究。这是开创性的。

在数学界花了几年时间验证了佩雷尔曼工作的细节之后颁奖开始了。佩雷尔曼获得了百万美元的千禧年奖，以及菲尔兹奖，通常被称为数学界的诺贝尔奖。佩雷尔曼拒绝了这两个。他说他的工作是为了数学的利益，而不是个人利益，而且为他的证明奠定基础的汉密尔顿至少应该得到这些奖项。

2 费马大定理

皮埃尔·德·费马 (Pierre de Fermat) 是 17 世纪的法国律师和数学家。数学显然更像是费马的爱好，因此历史上最伟大的数学家之一通过随意的通信交流了他的许多定理。他在没有证明的情况下提出了主张，让其他数学家在几十年甚至几个世纪后证明它们。其中最具挑战性的是费马大定理。

写起来很简单。有许多整数三元组 (x,y,z) 满足 x²+y²=z²。这些被称为毕达哥拉斯三元组，如 (3,4,5) 和 (5,12,13)。现在，是否有任何三元组 (x,y,z) 满足 x³+y³=z³？答案是否定的，那就是费马大定理。

费马在一本教科书的页边空白处手写了大定理，并评论说他有一个证明，但无法将其放入页边空白处。几个世纪以来，数学界一直在怀疑费马是否真的有一个有效的证明。

时间快进到费马去世 330 年后的 1995 年，英国数学家安德鲁·怀尔斯爵士终于破解了历史上最古老的未解问题之一。由于他的努力，怀尔斯被伊丽莎白二世女王封为爵士，并被授予独特的荣誉牌匾以代替菲尔兹奖章，因为他刚好超过官方规定的获得菲尔兹奖的年龄。

怀尔斯设法将不同数学分支的新研究结合起来，以解决费马的经典数论问题。其中一个主题，椭圆曲线，在费马时代完全没有被发现，导致许多人相信费马从未真正证明过他的大定理。

3 有限单群的分类

从解决魔方到证明Futurama上的身体交换事实，抽象代数有着广泛的应用。代数群是遵循一些基本属性的集合，例如具有“单位元”，其作用类似于加 0。

组可以是有限的或无限的，如果您想知道特定大小n的组是什么样的，根据您对n的选择，它可能会变得非常复杂。

如果n为 2 或 3，则该组只能以一种方式查看。当n达到4时，有两种可能。自然地，数学家想要一个包含任何给定大小的所有可能群的综合列表。

完整的列表花了几十年的时间才最终完成，因为很难确定它确实是完整的。描述无限多的群体是什么样子是一回事，但要确保该列表涵盖所有内容就更难了。可以说是 20 世纪最伟大的数学项目，有限单群的分类是由哈佛数学家丹尼尔戈伦斯坦精心策划的，他在 1972 年制定了极其复杂的计划。

1985 年这项工作几乎完成了，但涉及的页面和出版物太多，以至于一个人进行同行评审是不可想象的。一部分一部分地，最终检查了证明的许多方面，并确认了分类的完整性。

到1990 年该证明被广泛接受。随后努力将泰坦尼克号证明简化到更易于管理的水平，该项目至今仍未解决。

4 四色定理

拿起任何地图和四支蜡笔。可以按照以下规则为地图上的每个州（或国家/地区）着色：没有共享边界的州获得相同的颜色。

任何地图都可以用五种颜色着色这一事实——五色定理——在 19 世纪得到了证明。但直到 1976 年才将其减少到四个。

伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校的两位数学家 Kenneth Appel 和 Wolfgang Hakan 找到了一种方法，可以将证明减少到大量有限的情况。在计算机的帮助下，他们对近2000件案件进行了详尽的检查，最终得出了前所未有的证明方式。

由于 Appel 和 Hakan 的证明部分是在机器的头脑中构思出来的，因此可以说是有争议的，但最终被大多数数学家接受。从那以后，具有计算机验证部分的证明变得更加普遍，但 Appel 和 Hakan 开辟了这条道路。

5 连续统假设

19 世纪后期一位名叫乔治·康托尔的德国数学家通过计算出无穷大有不同的大小（称为基数）而震惊了所有人。他证明了关于基数的基本定理，现代数学专业的学生往往会在他们的离散数学课上学习这些定理。

康托尔证明实数集大于自然数集，记为|ℝ|>|ℕ|。很容易确定自然数的大小 |ℕ| 是第一个无穷大；没有无限集小于ℕ。

现在，实数更大，但它们是第二个无穷大吗？事实证明这是一个更难的问题，称为连续统假设 (CH)。

如果 CH 为真，则 |ℝ| 是第二个无限大小，没有无限集小于 ℝ 但大于 ℕ。如果 CH 为假，则两者之间至少有一个大小。

那么答案是什么？这是事情发生转变的地方。

相对于数学的基线公理，CH 已被证明是独立的。可以为真，不存在逻辑矛盾，也可以为假，不存在逻辑矛盾。

这是一种奇怪的事态，但在现代数学中并不少见。您可能听说过选择公理，这是另一种独立陈述。这一结果的证明跨越了数十年，自然地分为两个主要部分：证明 CH 是一致的，以及证明 CH 的否定是一致的。

上半部分要感谢传奇的奥匈帝国逻辑学家库尔特·哥德尔。他 1938 年的数学构造，被称为哥德尔的可构造宇宙，证明了 CH 与基线公理兼容，并且仍然是集合论课程的基石。后半部分又持续了二十年，直到斯坦福大学的数学家保罗科恩通过在模型理论中发明了一种称为“强制”的完整证明方法来解决它。

哥德尔和科恩的一半证明都需要集合论的研究生水平才能接近，所以难怪这个独特的故事在数学圈之外一直是深奥的。

6 哥德尔不完备性定理

哥德尔在数理逻辑方面的工作完全是下一个层次。除了证明东西之外，哥德尔还喜欢证明是否有可能证明东西。他的不完备性定理经常被误解，所以这是一个澄清它们的绝好机会。

哥德尔第一不完备性定理说，在任何证明语言中，总有无法证明的陈述。总有一些事情是真实的，但你无法证明它是真实的。通过仔细思考，可以理解哥德尔论证的（非数学上严格的）版本。所以系好安全带，就是这样：考虑一下这个陈述，“这个陈述无法被证明是正确的。”

仔细思考每一个案例，看看为什么这是一个真实但无法证明的陈述的例子。如果它是假的，那么它所说的就是假的，那么它就可以被证明是真的，这是矛盾的，所以这个案子是不可能的。在另一个极端，如果它确实有证据，那么那个证据就会证明它是真的……让它成为真的它没有证据，这是矛盾的，扼杀了这个案子。所以我们在逻辑上只剩下陈述是真实的，但没有证据。是的，我们的头也在旋转。

但是按照这个几乎但不完全自相矛盾的技巧，您已经说明了哥德尔第一不完备性定理成立。

哥德尔第二不完备性定理同样很奇怪。它说数学“形式系统”不能证明自己是一致的。一致的系统不会给您带来任何逻辑上的矛盾。

您可以这样想。想象一下，Amanda 和 Bob 每个人心中都有一套数学公理——基本数学规则。如果 Amanda 可以用她的公理证明 Bob 的公理系统没有矛盾，那么 Bob 就不可能用他的公理来证明 Amanda 的系统不产生矛盾。

因此，当数学家争论数学基本公理的最佳选择时（这比您想象的要普遍得多），了解这一现象至关重要。

7 素数定理

有很多关于素数的定理，最简单的事实之一素数有无穷多个，甚至可以巧妙地融入俳句形式。

素数定理更加微妙；它描述了素数沿数轴的分布。更准确地说，它是说，给定一个自然数 N，低于 N 的素数的数量大约为 N/log(N) ……其中“大约”一词具有通常的统计微妙之处。

借鉴 19 世纪中叶的思想，两位数学家 Jacques Hadamard 和 Charles Jean de la Vallée Poussin 在 1898 年独立证明了素数定理。从那时起，该证明一直是重写的热门目标，享受了许多表面修订和简化. 但该定理的影响有增无减。

素数定理的用处是巨大的。处理素数的现代计算机程序依赖于它。它是素数测试方法以及与之相关的所有密码学的基础。

8 根式求解多项式

还记得二次公式吗？给定ax²+bx+c=0，解就是x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，在高中的时候可能会觉得背起来很吃力，但你不得不承认这是一个方便的封闭形式的解决方案。

现在，如果我们上升到 ax³+bx²+cx+d=0，则可以找到“x=”的封闭形式，尽管它比二次形式要大得多。也可以对 4 次多项式 ax⁴+bx³+cx²+dx+f=0 执行此操作，但很难看。

早在 15 世纪就注意到了对任意次数的多项式执行此操作的目标。但是从 5 级开始，封闭形式是不可能的。在可能的时候写出表格是一回事，但数学家是如何证明从 5 开始就不可能的呢？

当法国数学家 Evariste Galois 于 1832 年去世时，年仅 20 岁，全世界才开始了解他的才华。他的一生包括在监狱中度过的几个月，在那里他因政治激进主义而受到惩罚，为学者们写下巧妙但未经提炼的数学，并以一场致命的决斗告终。

伽罗瓦的思想在他死后几十年才被完全理解，但最终它们发展成一个完整的理论，现在称为伽罗瓦理论。该理论中的一个主要定理给出了多项式何时可以“用根求解”的确切条件，这意味着它具有类似于二次方程式的封闭形式。所有 4 次以下的多项式都满足这些条件，但从 5 次开始，有些则不满足，因此没有任何高于 4 次的解的一般形式。

9 三等分角

古希腊人想知道如何使用未标记的圆规和直尺来构建各种比例的线条和形状。如果有人在你面前的纸上画了一个角，然后给了你一把没有标记的尺子、一个基本的圆规和一支笔，你就有可能画出将这个角恰好切成两半的线。这是一个快速的四步，像这样很好地说明，希腊人在两千年前就知道了。

他们未能做到的是将一个角度分成三分之一。从字面上看，它在 15 个世纪里一直难以捉摸，数百次尝试寻找建筑都徒劳无功。事实证明，这样的结构是不可能的。

现代数学学生在他们的伽罗瓦理论课程中学习角三等分问题，以及如何证明它是不可能的。但是，鉴于前面提到的数学世界处理伽罗瓦工作所花费的时间，问题的第一个证明归功于另一位法国数学家Pierre Wantzel。他于 1837 年发表了他的作品，即伽罗瓦去世 16 年后，但比伽罗瓦的大部分作品发表早了 9 年。

无论哪种方式，他们的见解都是相似的，将构造问题转化为关于某些代表性多项式的性质的问题。通过这些方法，许多其他古代建筑问题变得平易近人，结束了历史上一些最古老的开放式数学问题。

10 ABC猜想

数论中的abc猜想(亦以Oesterlé–Masser猜想 而闻名)最先由乔瑟夫·奥斯达利(Joseph Oesterlé)及大卫·马瑟(David Masser)在1985年提出，一直未能被证明。数学家用三个相关的正整数a，b和c(满足a + b = c)声明此猜想(也因此得名abc猜想)。若d是abc不同素因数的乘积，这个猜想本质上是要说d通常不会比c小太多。换句话来说，如果a，b的因数中有某些素数的高幂次，那c通常就不会被素数的高幂次整除。

在2012年8月，日本的京都大学数学家望月新一发布了其四篇预印文稿，介绍了他的全面一般化泰勒米希理论，并声称用此理论可证明包括abc猜想在内的几个著名猜想 。他的论文在数学期刊上刊登以供参考查阅，很多人也开始学习他的理论。很多数学家对他的文章持怀疑态度。

要解决这个猜想或许还是要走上孤独的漫漫长路。