皱纹和褶皱，对我们许多人来说都不陌生。我们的皮肤会起皱纹；皱巴巴的纸片有褶皱；在工程领域需要常常面对弹性薄片的起皱、折叠和回弹等。

数学家和物理学家们需要从理论上寻求出皱纹和褶皱的数理规律。确定皱纹的数学非常困难，难在相当地随机与无序。而且，随着某些东西的褶皱，它的属性会发生变化，因此相应的数学模型也必须不断变化。

伊利诺伊大学芝加哥分校数学家伊恩-托巴斯克（Ian Tobasco）开发出了一个全面的数学框架将皱纹模式视为几何问题的优雅解决方案。

要建立这种解决方案，问题是在于要建立弹性模式的普遍数学规则。托巴斯克多年来一直致力于解决这个问题，研究描述薄型弹性材料的方程，这些材料对变形的反应是试图弹回其原始形状。挤压一个皱巴巴的纸团，当你松开它时它会膨胀。工程师和物理学家已经研究了这些模式在某些情况下是如何出现的，但对数学家来说，这些实际结果表明了一个更基本的问题。是否有可能认知，一般来说，是什么选择了一种模式而不是另一种？托巴斯克的理论非常漂亮地做到了这一点，就是一下子给了你整个模式。

2021年1月，托巴斯克发表了一篇论文，论文题为：“薄弹性壳的曲率驱动起皱”，肯定地回答了这个问题，至少在一个光滑的、弯曲的、有弹性的薄片被压成平面的情况下，这种情况为探索这个问题提供了一个明确的方法。

他的方程式预测了看似随机的皱纹是如何包含"有序"域的，这些域有一个重复的、可识别的模式。他与人合作又撰写了一篇论文，于上月发表，显示了一种新的物理理论，它以严格的数学为基础，可以预测现实情况下的模式。

托巴斯克的工作表明，皱纹，以其多种表现形式，可以被看作是一个几何问题的解决方案。波恩大学教授、著名数学力学家、斯特凡-穆勒（Stefan Müller）评价说："这是一部美丽的数学分析作品。"

它首次优雅地阐述了这种常见现象背后的数学规则，以及一种新的认知。"纽约大学库兰特研究所的数学家、托巴斯克的研究生导师、罗伯特-科恩（Robert Kohn）评价说："这里的数学的作用不是证明物理学家已经做出的猜想，而是提供一个以前没有系统认知的理论。"

伊恩-托巴斯克提出了一个理论，从数学上描述了弯曲的表面被压平时出现的各种皱纹。

伸展开来

发展皱纹和弹性模式理论的目标是一个古老问题。在19世纪和20世纪，科学家们基本上是在实际方面取得了进展，研究了涉及特定物体被变形的皱纹的问题。早期的例子包括为航海船舶锻造光滑、弯曲的金属板的问题，以及试图将山脉的形成与地壳的加热联系起来。

最近，数学家和物理学家扩大了这一努力，将理论和观察连接到广泛的起皱情况、几何形状和材料。"牛津大学数学家多米尼克-维拉（Dominic Vella）说："这已经持续了大约10年，我们先做实验，然后试图找到理论来理解它们。"直到最近，我们才开始有了正确的认知。"

2015年，麻省理工学院的机械科学家佩德罗·莱斯（Pedro Reis）描述了在放气的硅球上形成的几何图案的物理规律。他的工作将这些皱纹与弹性材料的内部和外部的厚度联系起来。莱斯还指出，皱纹，而不是被认为是缺陷，可能提供了设计新型机械行为的机会。然后在2017年，维拉领导了对压力下的薄弹性薄膜的起皱不稳定性的分析，表征了皱纹的数量如何根据初始戳的深度和其他具体细节而变化。

但这些发展仍然只解决了问题的一部分。为了对皱纹如何形成有一个更普遍的数学理解，有必要采取不同的方法。托巴斯克是推动这一趋势发展的创新者。

沿着好奇心

当他年轻的时候，托巴斯克认为他将进入航空航天工程领域。他于2011年从密歇根大学毕业，获得了该专业的学士学位，但那时他已经被吸引到对数学推理和物理系统的深入思考。他获得了数学博士学位，是现在在雪城大学的物理学家乔伊-保尔森（Joey Paulsen）使他具体地走上了褶皱探寻之路。

在保尔森职业生涯的早期，当他研究不寻常材料的特性时，他学会了使用一种称为旋涂的技术来制造和分析超薄聚合物薄膜。首先，他创造了一种含有微量溶解聚合物的特殊液体材料；然后他把这种材料放在一个旋转板上。大部分液体会蒸发，而聚合物在凝固前会扩散到一个均匀的厚度。一旦他在锡拉丘兹大学有了自己的实验室，保尔森就学会了如何调整旋转涂层，以创造弧形薄膜，如超薄龟壳。

有一天，他把这些弯曲的薄膜放在静止的水面上，并拍摄了它们在水面上的沉降过程。"他说："这纯粹是好奇心驱动的。在2017年与保尔森的一次非正式会议上，这些照片引起了托巴斯克的注意。

"他们表明你可以得到这些随机无序的皱纹图案，当你做了两次实验，你会得到两种不同的图案，"托巴斯克说，"我想看看我是否能想出一些可推导的方法来预测这些模式，从弹性出发，将壳的形状纳入其中。而且该模型不会因壳而改变。"

皱纹图案是具有最小可能能量的配置。也就是说，当薄膜沉淀在一个平面上时，它就会变形，直到它找到皱纹的排列，不管是否无序，都需要最少的能量来维持。托巴斯克说："你可以根据图案显现时储存的能量数量来组织图案。"

在这一指导原则的引领下，他分离出薄膜的一些特征，这些特征被证明是选择其模式的特征，包括对其形状的测量，称为高斯曲率。一个具有正高斯曲率的表面会向外弯曲，就像一个球的外面。相反，负弯曲的表面是马鞍形的，就像薯片。如果你向一个方向走，你会向上走，但如果你向另一个方向走，你会向下走。

托巴斯克发现，高斯曲率为正的区域产生一种有序和无序域的排列，而曲率为负的区域产生其他类型。"详细的几何形状并不那么重要，"维拉说。"它真的只取决于高斯曲率的符号。"

他们曾怀疑高斯曲率对起皱很重要，但维拉说，领域如此严重地依赖于符号，这是一个惊喜。更重要的是，托巴斯克的理论也适用于广泛的弹性材料，而不仅仅是保尔森的形式。"这是一个很好的几何结构，显示了哪里会出现皱纹，"维拉说。"但是理解这一点来自哪里真的很深，有点令人惊讶。"保尔森对此表示赞同，"托巴斯克的理论非常漂亮地做的是给你整个模式，一下子就能看到。"

现实生活中的皱纹

2018年初，托巴斯克将他的理论基本确定下来，但即使如此，它是在纸面上可行，他无法确定它在现实世界中是否准确。托巴斯克联系了保尔森，问他是否有兴趣进行合作。"保尔森说："有些东西马上就成功了。"用托巴斯克的一些预测，放在实验图片上，我们马上就能看到它们是一致的。"

在那一年的工业与应用数学学会关于材料科学的数学方面的会议上，托巴斯克被介绍给埃莱妮·卡蒂佛里（Eleni Katifori），她是宾夕法尼亚大学的物理学家，正在探索密闭材料中的皱纹图案问题，并建立一个结果数据库。这是一个偶然的时刻。"她说："我们可以看到托巴斯克的工作所解释的模拟领域。这种匹配是不可思议的。甚至在他们的第一次讨论中，很明显，托巴斯克的理论、保尔森的实验图像和卡蒂佛里的模拟都描述了相同的现象。"即使在早期阶段，当我们没有任何具体的东西时，我们也能看到这种联系。"

早期的兴奋很快就引起了怀疑。这似乎好得不象是真的。保尔森说："他是一个数学家，并且把所有这些东西都变成了非立体的，"他指的是托巴斯克关于曲率的想法可以远远超出二维平面材料的范围。"我们真的在看同一个系统吗？"

在接下来的两年里，这三位研究人员解决了细节问题，表明托巴斯克的理论确实预测了，完全预测了保尔森在他的实验中看到的和卡蒂福里在她的计算机模型中发现的皱纹的排列。8月25日，他们在《自然-物理学》杂志上发表了一篇论文，展示了这三种方法是如何收敛于相同的、直接的皱纹的几何排列。

值得注意的是，他们发现这些图案属于整齐的等腰三角形系列，划分出了秩序和无序的领域。此外，这些结果并不局限于对不可能的薄材料的数学抽象，而是涉及多个数量级的厚度。

他们的工作也为扩大该理论及其应用提供了机会。卡蒂佛里说，作为一名物理学家，她对利用预测来设计新材料感兴趣。"我想了解你如何设计表面，以便它们实际上能将皱纹图案自我组织成你想要的东西。"

另一个开放的问题是，该理论如何能够普遍应用于不同种类的弯曲表面。维拉说："它非常专注于高斯曲率为正或负的情况，但有很多情况下，有些区域是正的，有些是负的，"。

保尔森同意这是一种令人兴奋的可能性，托巴斯克说他正在这个领域积极工作，并考虑其他形状的壳，比如有洞的壳。

保尔森认为，即使是目前的理论，也是美丽和令人惊讶的。"如果我给你一个壳和一个边界形状，以及托巴斯克的理论所预测的这套简单的规则，那么你可以拿着圆规和尺子，基本上就能画出皱纹"他说。

托巴斯克颇有感概地表示说，“作为一名数学家，找到物理实验家来测试你所做的、常被认为是疯狂的理论的预测，这真是太神奇了。”