本文较为硬核，请酌情跳过部分内容。
不过，若是你真想了解狄拉克方程，我建议你全看完。（可以忽略公式，只看文字内容。）
狄拉克方程，我想称其为“神来之笔”！它是狭义相对论与量子力学的统一，为了烘托这神来之笔，我需要在前期做足铺垫。
笔者曾写过一篇文章：《深度科普：带你看懂薛定谔方程，量子力学入门》，本文可以算是是那篇文章的后续内容，请读者确保自己已经读过了那篇文章，不然你完全看不懂下面的内容（评论区里会附上链接，也可以进作者主页查看）。
再次提醒，请确保自己已经读过上面的文章，不然你完全看不懂下面的内容。
本文的主要内容有：
从薛定谔方程的缺陷谈起
事情并不简单
“错误”的方程
绝境？
狄拉克的妙计
神来之笔！
写出狄拉克方程！
浑然天成的自旋
狄拉克之海与反物质
狄拉克方程的意义
从薛定谔方程的缺陷谈起
它有两个缺陷：
只能描述低速运动的电子，当电子接近光速运动时，薛定谔方程就失效了。
无法描述电子的自旋。
虽说薛定谔方程描述的是“微观粒子”这个大的概念，不过在它创立之初，基本上就是在描述电子。狄拉克方程也是如此，通常就是在描述电子。
甚至可以说量子力学就是描述光子和电子的学问，光子已经由麦克斯韦方程组描述了，其它的方程自然是在描述电子。
先看一看薛定谔方程的第一个缺陷，当电子接近光速运动时，薛定谔方程就失效了，此话从何说起？
咱们先捋一捋上篇文章是如何推导薛定谔方程的。从某种角度看，薛定谔方程就是经典的能量动量关系：
m是质量，v是速度。（为了简化问题，本文不考虑电子的势能。）
再乘一个波函数Ψ：
结合一下对波函数求偏导数以后得到的性质：
整理这些性质：
i是虚数单位，h加一横是约化普朗克常数。
这样就可以直接得到薛定谔方程：
（当然，这是一维的薛定谔方程。）
薛定谔方程的动能公式和动量公式都是从经典力学得来的，这就导致薛定谔方程只适用于低速运动的电子。
不过，有件事值得我们注意：
1905年，狭义相对论就被创立了。1926年，薛定谔方程才出现。薛定谔为什么还要使用经典力学的能量和动量，而不是直接创立一个满足狭义相对论的方程？
事情并不简单
这么明显的想法，薛定谔会想不出来？
人家当然能想出来啊！
那薛定谔为什么不改进一下自己的方程？
问题在于事情并不简单。
事实很尴尬，薛定谔最初构建物质波的波动方程时，用的就是狭义相对论的能量-动量关系！
但是，他写出的方程求不出氢原子能级公式，这说明那个方程是错的。
被打击以后，薛定谔又按经典的能量-动量关系构建了一个方程。结果竟然算出了氢原子能级公式！
于是，薛定谔把这个歪打正着的方程发表了。
薛定谔方程是这么“上位”的，这导致它在电子接近光速运动时就失效了。
“错误”的方程
薛定谔最初写下的方程其实是：克莱因-戈登方程。
（现在看来，随便一个学过物理的人都能推导出这个方程。）
这个方程是通往狄拉克方程的一个小插曲，笔者有必要介绍一下它。
上面已经回顾了薛定谔方程的推导过程，依葫芦画瓢，如果想描述高速运动的电子，只需要借鉴一下狭义相对论的能量-动量关系：
再乘一个波函数Ψ：
然后再看一看波函数的性质，找出需要用的公式：
这样就可以得到克莱因-戈登方程：
当然，这是一维的克莱因-戈登方程。依葫芦画瓢，还可以写出三维的克莱因-戈登方程：
这个方程被很多人用很多方法得到过，听起来很高大上，看起来也很高大上，实际上却是个“绣花枕头”。
求解这个方程，算不出氢原子能级公式也就算了，竟然还会出现负的概率和负的能量，一看就知道没戏。
多说几句，克莱因-戈登方程也不是一无是处。虽然它不能描述自旋为半整数的费米子（比如电子），但可以描述自旋为零的粒子，比如希格斯玻色子、介子。
绝境？
薛定谔方程缺陷严重、克莱因-戈登方程是“绣花枕头”，最终的方程究竟该怎么写？
还是要从狭义相对论的能量-动量关系入手。不过要注意，不能像克莱因-戈登方程那样“玩过了”。
克莱因-戈登方程之所以“玩过了”（出现负的概率和负的能量），是因为：
所以应该使用的能量-动量关系是：
乘以波函数Ψ，可以得到：
但是，根号的出现，让整个方程变得混乱不堪，还不如原本的克莱因-戈登方程。
所以对于相对论的能量-动量关系：
需要消除根号，而且还不能用等号两边平方的方法去消除根号，不然就又回到了克莱因-戈登方程。
此时的物理学家：
走到这一步，真的可以算是“前不着村，后不着店”，物理学家似乎陷入了“死循环”，难道狭义相对论和量子力学不兼容吗？
狄拉克的妙计
狄拉克的思路是：
既消除了根号，又没有平方，堪称完美！是不是有一种“从地狱到天堂”的感觉？
但是，别高兴得太早，α和β真的存在吗？什么意思？
狄拉克的想法相当于：
大家可以自己思考一阵子，看看能不能得到满足条件的A和B。
我可以告诉大家，A和B在实数域内找不到解，在复数域内也找不到解。更让人绝望的是，如果你的思路是：
那么A和B根本就没有解！
是不是有一种“从天堂到地狱”的感觉？
狄拉克的妙计似乎并不妙，也只是个“绣花枕头”。这件事放在别人身上或许就不了了之了，不过很可惜，狄拉克终究是狄拉克。
神来之笔！
矩阵！
A和B可以是矩阵，说得准确一点，是2x2矩阵！
矩阵就是把一堆数排列在一起，矩阵的乘法通常不满足乘法交换律。
（限于篇幅，正文里就不介绍矩阵的计算方法了，评论区里会附上矩阵的计算方法。）
知道了矩阵的妙用，回到当初的问题：
所以真正的问题是：
它们都是4x4矩阵，被称为狄拉克矩阵：
想知道怎么推导狄拉克矩阵？
这不是强人所难吗，连我这种人都能搞懂的话，还能叫神来之笔吗？
顺便说一句，狄拉克矩阵不止这一组。费米找到了另一组狄拉克矩阵，被称为“标准组”，而狄拉克找到的这一组矩阵被称为“泡利组”。
写出狄拉克方程！
现在可以写出新的满足狭义相对论的能量-动量关系：
结合波函数的性质：
可以得到：
这就是狄拉克方程！
不过这种形式的方程和网上常见的狄拉克方程相差甚远，所以我有必要说明一下各种形式的狄拉克方程是怎么来的。
首先，把等号右边的一些项移到等号左边：
然后，在等号两边都乘以一个β矩阵（β矩阵乘β矩阵是单位矩阵，在这个方程里可以认为单位矩阵就是1）：
上面的方程还可以写成：
把等号右边的项移到等号左边就可以得到：
如果采用自然单位制，就可以得到：
再定义一个算符：
就可以得到：
浑然天成的自旋
之前提到过薛定谔方程的两个缺陷：
不能描述高速运动的电子。
不能描述电子的自旋。
第一个缺陷已经被狄拉克方程解决了，那第二个缺陷呢？
也被狄拉克方程解决了！
是不是有疑问，刚刚推导狄拉克方程的时候只是使用了狭义相对论的能量-动量关系啊，没有考虑自旋啊，怎么就描述了电子的自旋？
上篇文章说过，想要描述电子的自旋，就需要引入泡利矩阵：
（至于泡利矩阵怎么就能描述电子的自旋，这涉及到旋量理论和洛伦兹群，笔者就不介绍了。）
而狄拉克矩阵包含了泡利矩阵：
狄拉克矩阵是从哪里来的？
狭义相对论啊！
这说明什么？
说明电子的自旋是狭义相对论的必然要求，电子必然有自旋！
顺便说一句，电子的自旋并不是说电子在绕着一个轴转动（如果真是电子在转动，就违背了狭义相对论），“自旋”仅仅只是为了描述斯特恩-盖拉赫实验中的反常现象：电子具有额外的磁矩。
狄拉克之海与反物质
前面说过，求解克莱因-戈登方程会得到负的概率和负的能量，这让克莱因-戈登方程被人诟病。正因如此，才需要一个新的方程：狄拉克方程。
那求解狄拉克方程的结果如何？
确实不会出现负的概率，但是仍然会出现负的能量。这似乎表明狄拉克方程和克莱因-戈登方程一样，都是“绣花枕头”。
不过，这里的“剧情”有些不一样，狄拉克给负的能量找到了一个“合理”的解释：
负能量对应着“负能级”，真空中到处都是“负能级”，那里早已被电子填满了。所以真空是一片电子组成的海洋（狄拉克之海），只不过我们无法观测到那些待在“负能级”的电子。
听起来是不是有些玄幻？
下面还有更玄幻的：
如果“负能级”中的电子吸收能量，就会跃迁到“正能级”，成为我们可以观察的电子。与此同时，会在“负能级”中形成一个“空穴”，也就是说真空中出现了一个电子，同时也出现了一个“空穴”。
真空的总电荷是零，总能量也是零。
真空中少了一份的负电荷（占据“负能级”的电子），就会表现出一份的正电荷，所以这个“空穴”是带正电的。真空中少了一份的负能量（占据“负能级”的电子），就会表现出一份的正能量，所以这个“空穴”具有正的能量（也就是正的质量，切记）。
把这个过程反过来，电子与“空穴”结合，会释放能量。与此同时，它们回归真空。
这种“空穴”就像一种粒子一样，当时人们知道的带正电的粒子只有质子，狄拉克原本也觉得这种“空穴”就是质子，不过这种想法被批判：
按照能量守恒，“空穴”的质量应该与电子的质量相同，而质子的质量大约是电子的1836倍！
于是狄拉克脑洞大开，认为这是一种新的粒子，它与电子的质量相同、自旋相同，只是带的电荷与电子相反，可以称之为正电子！
1932年，安德森继任赵忠尧先生的工作，在宇宙射线中发现了正电子。
也可以说正电子是电子的反粒子，随后的几十年里，物理学家陆续发现了其它粒子的反粒子，这让人畅想：反物质！
狄拉克方程的意义
这是狭义相对论和量子力学的统一！
（所谓的相对论和量子力学不相容，说的是广义相对论，而非狭义相对论。）
也是量子场论的开端，导致了二次量子化，促成了量子电动力学的创立。
而且，狄拉克方程不只描述电子，目前看来，一切费米子都可以由狄拉克方程描述。甚至可以说，狄拉克方程是粒子物理标准模型的第二块拼图！
（粒子物理标准模型描述了电磁力、弱核力、强核力，是目前理论物理学的巅峰。）
