三角形中三条角平分线的交点的问题
（一）三角形三条角平分线定理：
三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
已知：如图，△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P， 过点P分别作AB 、 BC、AC的垂线，垂足分别为D、E、 F。
求证：∠A的平分线经过点P,且PD=PF=PF.
证明：∵BP 是∠ABC的平分线，且PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
同理，PF=PE
∴PD=PE=PF
∴点P在A的平分线上(在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上)
即 ∠A的平分线经过点P
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（三）图形分类
一、锐角等腰三角形
二、等边三角形
三、等腰直角三角形
四、钝角等腰三角形
五、锐角三角形
六、直角三角形
七、钝角三角形
补充：三角形三边垂直平分线定理：
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
已知：如图，△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P。
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC。
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴PA=PB (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)
同理，PB=PC
∴PA=PB=PC
∴点P在AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)
即 边AC的垂直平分线经过点P
