许多学者对机械超材料开展了研究，在变形机理、力学性能、能量吸收、层次结构设计和工程应用等方面发表了大量的研究成果。星形蜂窝是一种典型的机械超材料，二维星形蜂窝(2DSSHs)由于其丰富的内部空间和重入角而表现出有效的负泊松比，而三维星形蜂窝(3DSSHs)尖端角度的可调性有限，其强度和变形仍然受到限制。
2022年，力学TOP期刊《Composite Structures》发表了河北工业大学和天津大学在改进三维星形蜂窝方面的研究工作，论文标题为“Design 3D improved star-shaped honeycomb with different tip angles from 2D analytical star-shaped model”，第一作者为河北工业大学机械工程学院的刘海涛副教授。
在本文中，作者提出了改进的星形蜂窝(ISSHs)，通过增加重入角（re-entrant angles）来取代尖角（tip angles），并发展了从二维到三维的几何扩展。通过理论计算、实验结果和数值模拟，说明了尖重入角（tip re-entrant angle）对有效杨氏模量和有效泊松比的影响。此外，还详细讨论了外角（external angle）、斜杆宽度（oblique rod breadth）和支柱厚度（strut thickness）对有效杨氏模量和泊松比的影响。最后，基于二维ISSH的特性，讨论了三维ISSH模型的承载强度强度。该研究为3DSSH提供了更好的可参考性，特别是其强度和可调性。
值得注意的是，具有各种优良性能的星形蜂窝(SSH)很少被提出形成对比。SSH的典型案例按近似时间进行排序，如图1所示。空间优势和重入角是蜂窝特性不可替代的选择。星形蜂窝充分反映了尖头、圆形或凸面的优势。
三维ISSH的几何形状是根据体中心的立方体构造的。ISSH的几何形状通过将尖角修改为星形蜂窝(SSH)来描述，如图2(a)所示。所示整个结构的相对参数为长度和高度，如图2(b)所示。θ表示尖端的重入角，φ表示外角，L表示单胞的长度，斜杆和短杆的长度分别用l和h表示，参数αl和μl分别为单胞的支柱厚度和斜杆宽度，γl表示单胞的片厚度，如图2(c)所示。
图 2 (a)三维改进的星状蜂窝状；(b)二维改进的星状蜂窝状；(c)改进的星状蜂窝（ISSH）单胞
由于ISSH在x方向和y方向的对称性，在小变形假设中仅用y方向讨论加载条件，如图3(a)所示。基于卡斯蒂格里亚诺第二定理（Castigliano’s second theorem）的应用，通过建立四分之一模型的等效边界条件，建立了ISSH（重入角）的解析模型，如图3(b)所示。由于x方向的限制，杆A1C1只能在y方向上变形，而杆A2C2同样被限制在y方向上，并在x方向上变形。
图 3 二维ISSH的几何图解：(a)ISSH的加载条件；(b)ISSH的四分之一分析模型
四分之一ISSH的受力分析如图4所示。杆C1B1在弯曲时受到向下的力矩和剪切力。而棒B1D和B2D受到不同的弯矩和轴向力，其弯曲程度和压缩变形不一致。由于杆B1D比杆B2D遭受更严重的弯曲，因此尖端重入角∠B1DB2不断增加。逆时针向杆B2C2施加力矩，导致水平外角的持续膨胀。
如图5(a)所示，3块哑铃形试件厚度为4mm，长度为14.7mm。为了定量地研究有效泊松比和应力应变关系，制作了一些试样，如图5(b)所示。
二维ISSH的3*3模型与实验试件相同，如图6(a)所示。实验试样材料视为变形范围小的线弹性材料。杨氏模量为1740MPa，泊松比为0.4。根据合理的计算精度和时间，ISSHs的平均网格尺寸为0.5mm。有限元模型由36103个网格组成，共包含63,956个节点，如图6(b)所示。根据分析模型，分析了相关参数对ISSH力学性能的影响。3DISSH的3*3*3模型与2DISSH相比，由不同的单胞组成，片厚度与支柱厚度一致。划分网格后的单胞由16623个网格组成，平均网格尺寸为0.5mm，如图6(c)所示。
图 6 二维ISSH和三维ISSH的有限元模型：（a）2DISSH的加载条件；（b）、（c）2DISSH和3DISSH的网格单元；（c）3DISSH的加载条件
在实验和数值模拟中，外角φ的范围设置为45到90，以清晰地反映变形，如图7(a)-(d)所示。结果表明，φ的增加使νyx从负变为正，并且在不同的变形阶段中明显地呈现出负泊松比效应和正泊松比效应。在变形过程中，由于出现屈曲现象，两侧难以同时保持收缩效应，如图7(a)和(b)所示。虽然NPR效应随着φ的增加而消失，但横向变形向两侧扩展，如图7(c)和(d)所示。ISSHs的理论结果(TR)与仿真结果(SR)和实验结果(ER)一致，如图7(e)和(f)所示。随着外角φ的增加，ISSH的Ex/Es单调减小，νyx从0.6增加到0.6。外角的变化使ISSH从负泊松比结构向正常结构转变。
ISSH中φ和θ的变化情况如图8(a)和(b)所示。数值模拟和理论结果均考虑了θ从60到180变化，间隔为10，如图8(c)所示。预测理论结果与仿真结果吻合较好。造成这种差异的主要原因可能是忽略了杆材之间的微小变形，并且连接构件的压缩变形在一定程度上受到长度的影响。从底部的投影轮廓可以看出，虽然尖端重入角的设计对外角的影响很小，但它增强了星形蜂窝的可调性。
图 8 (a)外角φ的变化；(b)尖角θ的变化；(c)在轴向应变0.01下，νyx对角度参数φ和θ的依赖关系（表面为理论结果，点表示模拟结果）
图9为在不同的μ和α条件下，通过数值模型得到的Ey/Es和νyx，理论结果与仿真结果吻合较好。从等式（21）开始，Ey/Es与μ之间的关系类似于逆比例函数，其乘积近似为一个常数。μ的增加直接导致Ey/Es的降低。当μ增加到0.45时，对应的Ey/Es仅为原始值的一半，如图9(a)所示。图9(b)中，μ的增加直接导致νyx的减少。由于斜杆的弯曲变形减少，NPR效应继续减弱。因此，μ的变化可以对νyx进行很大范围的调整。为了研究α的影响，其他参数分别固定了θ=90、φ=45和μ=0.35。模拟了不同厚度系数α对ISSH压缩特性的影响。Ey/Es与νyx和α之间的关系以及ρr和α之间的关系的模拟结果见图9(c)和9(d)。ISSH的Ey/Es随着α的增加而增加，νyx先减少，然后再增加，其增加趋势与系列模型一致。当α的值接近0.066时，νyx达到峰值。随着α值的持续增加，NPR效应开始减弱。可见，ρr和Ey/Es与α呈正相关。当单胞被压缩时，我们可以得出α的增加与相对密度一致，当ρr达到0.6时，NPR效应最大。
图 9 在y向轴向应变为0.01的情况下，理论结果与仿真结果的比较
厚度系数α和有效泊松比νyx对ISSH的影响是抛物线性的，而不是线性的。具体原因是，随着厚度的增加，杆在重入角处的主要变形由直杆变为了斜杆。为了更好地解释这种情况，作者分析了三个具有代表性的模型（α=0.033，α=0.066，α=0.099），并得出了造成这其中的潜在原因从其变形与应力之间的关系，如图10所示。当厚度超过极值（α=0.066）时，斜杆的变形由于其自身的厚度而受到抑制，因此有效泊松比效应先减小后增大。
图 10 对ISSH进行的不同厚度系数的应力星云图：（a）α=0.033；（b）α=0.066；（c）α=0.099
根据体中心立方（体心立方）的排列方式，构建了三维ISSHs的单胞，如图11(a)所示。尖端重入角从θ=90变为θ=270，讨论了两个弧角(尖端重入角ISSH#1、凹弧角ISSH#2、尖端重入角ISSH#3、凸弧角ISSH#4、尖端重入角ISSH#5)。用尼龙PA12制作实验试样，构建有限元模型，如图11(b)和(c)所示。
由图12可知，凸弧角ISSH#4是与其他模型比较断裂的最新模型。与SSH#6相比，尖端重入角ISSH#1（φ=π/2）具有更高的杨氏模量，这意味着更高的抗压强度。凹弧角ISSH#2和尖重入角ISSH#3（φ=π）的峰值应力高于SSH#6，而凸弧角ISSH#4和尖重入角ISSH#5（φ=3π/2）的峰值应力较低。尖端重入角ISSH#5的峰值应力比SSH#6低9.7%，尖端重入角ISSH#3的峰值应力比SSH#6高2.5%。其原因是尖端的重入角提高了弯曲强度。
图 12 压缩试验中三维试件的应力-应变曲线（实线表示实验结果，虚线表示相应的模拟结果）
为了在断裂前准确观察变形，拆除上下板，清晰观察，如图13(a)所示。5个样品包括三种重入角（#1、#3、#5）和两种弧形角（#2、#4）。试件压缩变形及有限元分析见图13(b)、(c)。根据断裂前的压缩应变，可以得到1和5先断裂，然后2和3断裂，4最后断裂。从应力云图中可以看出，尖端重入角的设计可以改善结构的最大应力分布。因此，ISSH的设计是基于圆弧角来获得较大的变形效应。
图 13 三维ISSH的压缩测试：（a）样品；（b）和（c）实验模型和有限元模型在断裂前的变形
文章在传统的星形蜂窝的基础上，提出了具有可调泊松比的改进星形蜂窝，用尖端重入角度代替尖角。用理论、实验和有限元的方法详细研究了平面内的弹性特性和影响因素。在讨论这些基本参数（θ、φ、μ和α）的影响时，发现其与Ey/Es和νyx密切相关。νyx的值通过转化φ而由正变为负。要么改变μ有效调整大范围的νyx值，要么改变θ小范围的调整。值得注意的是，α的增加并不会使νyx的值无限期地降低，而适当的厚度是结构设计的关键。此外，还讨论了带有承载强度的三维ISSH模型。圆弧角的设计提高了相同压缩应变下的结构强度，且变形大于其他ISSHs。这些结论为3D星形蜂窝，特别是其强度和可调性提供了较好的参考。
原始文献：Hai-Tao Liu , Liang Wang，Design 3D improved star-shaped honeycomb with different tip angles from 2D analytical star-shaped model，Composite Structures, Volume 283,2022,115154, ISSN 0263-8223.
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