编者按:

1月14日是联合国教科文组织和国际哲学人文科学理事会共同设立的“世界逻辑日”,是以纪念逻辑学家哥德尔(1978年1月14日逝世)和塔斯基(1901年1月14日出生)的方式所设立的。哥德尔是世所公认的当代最伟大的逻辑学家,其最重要的贡献即“哥德尔不完全性定理”。值此“世界逻辑日”,特推送我系张建军教授的《哥德尔不完全性定理及其意义辨析》一文,以飨读者。

1931年,奥地利青年逻辑学家哥德尔在数学基础理论研究中获得了一项重要结果:


对任一足够丰富的数学形式系统而言,如果它是相容的,则一定是不完全的。


这个后来被冠以“哥德尔不完全性定理”的结果,得到了学术界的广泛瞩目,迄今仍在多种不同的领域被热烈地谈论,并由此引申出各种各样的哲学结论。然而,所有讨论都应以弄清定理的科学内容为前提。我们先结合哥德尔证明此定理的历史背景及其动因的回顾,阐明定理所涉及到的几个基本概念,然后再通过介绍定理的证明过程,说明其科学含义及其历史意义。



了解哥德尔证明此定理的历史背景,需从集合论悖论谈起。所谓悖论,是指这样一种非常特别的逻辑矛盾,在一定的背景知识下,两个相互矛盾的命题可以互相合乎逻辑地推出。最古老的悖论之一是所谓“说谎者悖论”:某人说,“我正在说的这句话是谎话”,假设此话真,可推出此话假;假设此话假,又可推出此话真。诸如此类的悖论,长期被视为哲学家玄思的产物,与科学无涉。然而,上世纪末本世纪初,悖论却接二连三地出现于被视为严格而精密的数学基础学科——康托尔的超穷集合论之中。这些集合论悖论中最简单而又最重要的一个,是1901年由罗素最先发现的罗素悖论。这个悖论所涉及的集合论的基本概念,只有“集合”、“元素”和“属于”(连同集合论的造集原则:一个集合可作为另一集合的元素),另外涉及到的基本原则只有一条“概括原则”:任一特征性质均可定义一个集合。比如,“X是人”这一特征性质可定义集合A={X | X是人},即所有人的集合,而每一个人如张三便是该集合的元素,即张三“属于”集合A。罗素指出,我们可以把所有集合分为两类:一类是不属于自己的,不能作为自己的元素的集合,如人的集合本身并不是一个人;再一类就是属于自己的,即本身是自己的元素的集合,如所有不是人的东西的集合,本身也不是人。这种分类看上去是充分适当无可怀疑的,现在我们考虑这样一个特征性质,即“X是不属于自身的集合”这一性质。据概括原则,由它可定义S0={X | X不属于X}。现问,S0是否属于自身?显然,设S0属于自身,可推出S0不属于自身;设S0不属于自身,又可推出S0属于自身,从而形成了一个与上述说谎者悖论类似的悖论。


到19世纪末,集合论已成为整个数学大厦的自然的可靠的基础。而集合论悖论又是如此地确定无疑,它是由集合论的基本原则直接推导出来,并且无法通过枝节性修正而消除。因此,整个数学理论的可靠性问题成为众所关心的问题。著名的希尔伯特规划就是在这种形势下诞生的。


数学基础中的批判性研究,往往是以发现和克服理论中的逻辑矛盾为线索展开的,而论证数学理论的可靠性,也是同证明理论的无矛盾性分不开的。希尔伯特的规划是一个以绝对证明经典数学理论的无矛盾性为目的的宏伟方案。他的基本思路是:首先把数学理论各分支公理化、形式化,构成形式系统,然后证明这些形式系统的相容性。他经过精心研究所设计的具体步骤是:先把自然数算术即初等数论完全形式化,构成算术形式系统(下称形式算术),进而严格证明它的相容性;再经适当的推广,证明ZFC公理集合论之形式系统(及类型论系统)的相容性,而由于集合论在数学大厦中的基础地位,其他数学形式系统的相容性的证明,也就成为理所当然。从而可以表明,整个数学理论是无矛盾的。


理解希尔伯特规划,首先需要弄清公理系统和形式系统的概念。所谓公理系统,就是从一些初始命题出发,根据演绎推理推出一系列导出命题而构成的理论系统。初始命题称为系统的公理,导出命题称为系统的定理。命题是由词项(概念)组成的,因而初始命题中必含初始词项,而不少定理中则需通过定义引出一系列导出词项,这样,公理系统的基本结构可图示如下:


可见,要为一科学理论构造一个公理系统,就是要从该理论的诸多真命题中挑选出一组不加证明的命题作为公理,继而将其余命题与公理建立起演绎推导关系;与之相应,要从理论的诸多词项中挑选出一组不加定义的初始词项,继而运用这些初始词项给其余词项下定义。应用演绎规则从公理推演定理的过程称为理论中的一个证明,每一命题必须经过证明才能成为理论的定理。


公理系统经历了从古典公理系统到现代公理系统的发展。以欧几里得《几何原本》为代表的古典公理系统,其所处理的对象域是先于公理而给定的,初始词项具有直观含义,而公理则是关于对象的直观自明的知识。非欧几何的出现和确立,说明了自明性、合直观性并不能作为科学思维的基础,促使人们克服古典公理系统的缺陷而发展出现代公理系统。现代公理系统虽然一般也有其直观背景,并且通常有预先想到的解释,但是系统自身并不赋予初始词项以直观的具体内容,只视之为一种人工符号,而公理则被视为这种符号的形式组合。这样,对于现代公理系统的初始词项和公理就可以给予不同的解释,赋予各种不同的含义。只要这种解释使得系统的所有公理(从而所有可证定理)为真,则说明该系统可以刻画由这种解释所确定的对象域。换言之,系统的公理和定理在不同的解释下成为不同对象域的真命题,从而可以刻画多个不同的对象域。而且,系统的公理的选择并不依赖于其解释的自明性,在某些解释下,系统的公理并不比其定理更为自明。现代公理系统的另一个特征是其严格性,除了已给定的公理和已证明的定理以外,在证明过程中避免不自觉地附加上其他的隐含的前提。


形式系统是完全形式化的公理系统。以希尔伯特《几何基础》为代表的所谓“形式公理系统”是初步形式化的,但不是完全形式化的。这里“完全”与“不完全”的差别主要在于,“形式公理系统”不把从公理推导定理所用的逻辑规律或推理规则包括在系统本身之中,对于哪些证明方法是可以使用的这一点没有明确规定出来。也就是说,其中逻辑概念和逻辑命题还有意义,只是非逻辑内容的意义被抽象掉了。而在完全形式化的形式系统中,一切意义包括逻辑意义都被抽象掉了,推演所遵循的逻辑规则也都是事先十分明确地给定的,从而在系统内部彻底摆脱了直观因素。


形式系统包括三个基本的组成部分。第一部分是形式语言。建立形式语言首先是确定各种初始符号,其次是确定形成规则。初始符号是形式语言的“字母”,经解释后其中一部分是公理系统的初始概念(包括逻辑概念)。初始符号的数目一般规定为无穷的,也可以只用有穷个初始符号,再从它们构造出数目无穷的符号。符号的有穷序列(有穷长的符号串)称为表达式。形成规则用来从表达式中区分出合式公式。类似于日常语言的语法规则,规定怎样构成合法语句。合式公式就是形式语言的合法语句,它们经解释后可以是关于某对象域的有意义的命题。


形式系统的第二个组成部分是它的公理。公理是挑选出来作为系统的出发点的一组合式公式,是被系统首先肯定的公式。经解释后是有关某个对象域的真命题。


形式系统的第三个组成部分是变形规则,也称推演规则。变形规则规定怎样从公式经过符号变换而推导出另一公式。运用变形规则从公理推导出的公式是该系统的定理。形式系统的定理一般定义为:(1)公理是定理;(2)从定理运用变形规则得出的公式是定理;(3)只有由(1)(2)两条确定是定理的公式是定理。


形式系统中的公式和定理,是在系统内逐步生成的:公式由初始符号和形成规则生成,定理由公理和变形规则生成。每一公式和定理都有一有穷长的生成序列。定理的生成序列称为证明。换言之,形式系统中的证明是公式的这样一种有穷序列,其中每一个公式或是一公理,或是以序列中在先的公式依据变形规则推导出来的。一个证明通常也被称作序列中最后一个公式的证明,在此含义下,一个公式是定理,当且仅当存在它的一个证明。


正确把握形式系统的概念,还必须弄清“机械程序”和“能行可判定”两个概念。所谓机械程序是指这样的程序:每一步都是由事先给定的规则明确规定了的,即规定了第一步如何做,在完成某一步之后下一步如何做,并且在有穷步后能够结束。所谓能行可判定,则是指对一类问题有一机械程序,对任给该类中的问题,能确定它是否具有某个性质,或任给一对象能确定它是否属于该类。对一个严格的形式系统而言,如下问题必须能行可判定:①任给一符号是否系统的初始符号;②任给一表达式是否合式公式;③任给一公式是不是公理;④任一有穷长的合式公式序列是否为一证明。


上述的形式系统概念,是希尔伯特在本世纪20年代初首次完整地阐明的。由于其显示出来的优越性,建构形式系统逐步成为数学基础研究的一般方法。特别地,经希尔伯特等人的努力,经典逻辑演算(一阶逻辑)也建成严整的形式系统,前节已对其中一种系统作了简单介绍,读者可以由此体会形式系统的结构与功能。此外,ZFC和PM等数学分支系统,也都建构成了严格的形式系统。形式系统的建立,为研究公理系统的元理论性质提供了可能。


公理系统的元理论性质,首先是系统的相容性(无矛盾性),即系统中不含逻辑矛盾。如果系统中包含了这样的命题,它和它的否定均可在系统中得到证明,即意味着在系统中含有逻辑矛盾,从而该系统就是不相容的。由于拒斥逻辑矛盾的不矛盾法则是演绎逻辑的根本原理,因而相容性便是基于演绎推理的公理系统的一个最基本的要求。其次是系统的独立性,即系统的公理之间是相互独立的,没有哪个公理可以从其他公理中推导出来。对这一性质的要求乃基于理论简单性要求的考虑。再次是系统的完全性。直观地说,如果凡系统内部能够提出的问题,该系统自身都是可以解决的,即意味着该系统是完全的。更准确地说,系统的完全性是指:凡是在系统中可以构造(统称“可表达”)的命题,该系统均有能力证明它或反驳它(即证明它的否定)。此外,形式系统产生了一些特有的元理论问题。最重要的是能行可判定问题:如果存在一种机械程序,对于系统中的任一公式,都可以判定它是否系统的定理,就称该系统是能行可判定的。能行可判定性是计算机和人工智能技术运用的基础。有关数学形式系统的元理论性质的研究,是一门新的精密科学——元数学研究的核心内容。相应地,以逻辑形式系统为研究对象的科学,则称为元逻辑。


弄清上述基本概念,即可明白希尔伯特规划的含义。希尔伯特所规划的实际上是一套完整的元数学研究方案。它研究数学理论的元理论性质,主要是试图给出关于算术和集合论的无矛盾性的严格证明。这种“严格证明”必须采取有穷方法,要求每一步骤只考虑确定的有穷数量的对象;所涉及的概念、定义或判断,必须满足其对象可以完全给出并且过程可以彻底进行完毕;全称命题所表达的规律,必须对每一具体对象都可以得到验证,而存在命题必须能够直接给出某一特定对象,或者在原则上给出一种能行的算法,经有穷步骤可以得到那个对象,如此等等。由于有穷方法的彻底可靠性,由此所进行的证明就是绝对严格的。希尔伯特把运用有穷方法证明的相容性称为“绝对相容性”。总之,希尔伯特规划简单地说就是:将数学建构为形式系统,并用有穷方法证明这些系统的相容性。


在希尔伯特所设计的方案中,系统的完全性是与系统的相容性证明密切相关的。首先要证明经典逻辑演算的完全性。因为一般数学形式系统都把逻辑演算包含于自身。如果狭谓词逻辑的形式系统是完全的,则说明数学形式系统的逻辑工具是强有力的;继而是证明形式算术的完全性,即所有算术真理都可证明为一形式算术系统的定理;接下去是证明包含形式算术的系统(如ZFC、PM的形式系统)的完全性,如此等等。如果数学形式系统的完全性被证明,就意味着数学真理与形式系统的可证性完全等价,意味着对数学真理的内容研究可彻底转化为对符合形式的研究。这就是希尔伯特和当时的许多数学家所期望的。



正是沿着希尔伯特方案所指示的方向,哥德尔开始进行形式系统的元理论研究。首先,他于1930年证明了狭谓词演算的完全性。就是说,狭谓词逻辑的逻辑真理,特别是正确的推理形式(普效蕴涵式),均可表达为狭谓词演算的定理。狭谓词逻辑形式系统的完全性的证明,标志着自莱布尼茨开始的,用数学方法改造传统演绎逻辑工作的彻底完成,说明人类已拥有维护理论的前后一贯性和相容性的强有力的逻辑工具。这是现代逻辑发展史上的一个重要的里程碑。


但时隔不到一年,哥德尔又得出了大大出乎希尔伯特等人(包括哥德尔本人)的预料的结果,即前述哥德尔不完全性定理。


上面哥德尔定理的表述中“足够丰富”的含义,是指数学形式系统所要反映的内容丰富到能够包含充分的算术,具体地说,就是其语言丰富到能够充分地表达算术的加法与乘法。哥德尔所研究的算术形式系统N即是这样一个系统。哥德尔的证明的最关键步骤是他在N中找到了这样一个公式G,它和它的否定G在系统之内都是不可证的,即二者均不可能作为N的定理。而从语义角度考虑,经过解释,G和G必有一真(N中的公式都是不含自由变项的闭公式,因而都是或真或假的)。真而不可证明,意味着有的算术真理并没有为N所包容,从而证明N是不完全的。


哥德尔指出,公式G的直观含义与说谎者悖论相关。前述说谎者悖论可变型为:令命题B为“B是假的”,可得:B是真的,当且仅当B是假的。哥德尔把B中的“假”换成“不可证”,得到G:G是不可证的。这样就把一个语义概念换成了一个语型(语法)概念,而后者是可以数学地处理的对象。哥德尔说明,后者尽管与B类似,但并不导致悖论。


请注意,这里可证与否是相对于系统N而言。严格地说,G应表述为:“G在系统N中不可证”。我们已知N是良好的系统,即凡在该系统中可证明的命题都是真的。从而,假设G是在N中可证的,则它是真的,由此可推出它是在N中不可证的;但是,从假设它是在N中不可证的,却推不出它是在N中可证的。直观上可以看出,这是一个在系统N中不能证明的真语句。


为什么G不像B那样导致悖论呢?要理解其原因,关键是把语义概念“真”、“假”和语型概念“可证”、“不可证”区别开来。根据排中律有“或者G或者G”,在语义解释下,G不是真的就是假的;然而,排中律并不保证G或G一定有一个在N中可证,并不能排除二者在N中均不可证的可能性。因而,尽管由设G为假可推出G为真;但由设G为真,推不出G为假,因为在N中不可证明并不意味着一定为假。


G所断定的是它自身在N中的不可证性,而一公式可证与否的问题,本应属于N的元理论问题,怎么可能在系统N中找到G呢?哥德尔之所以能够做到这一点,乃得力于形式对象及其元命题的“算术化”工作,它主要是通过“哥德尔数”的发明而进行的。所谓“哥德尔数”,就是对形式系统N中的每一符号、公式及证明(证明乃一种公式序列)等单位所指派的自然数编码。每一个单位指派一个唯一的自然数。这种指派是根据一种排序方案进行的。任给系统中的某个单位,恒可按这种方案为其指定一个哥德尔数。通过哥德尔数的编制,形式系统N的所有单位便映射到了自然数的一个真子集上。这样,确定了某一公式或证明的哥德尔数之后,就可用算术方法将其分解成质因数的乘积,从而将有关公式或证明重新构造出来。系统N便“算术化”了——关于N中的形式对象及其元理论命题,变成了关于相应的哥德尔数的算术命题。形式系统N原本是算术的形式化系统,哥德尔又运用配数法,使其元命题算术化,迈出了证明不完全性定理的重要的一步。在此基础上,他通过定义直观谓词在N中“(数字)可表达”及“(原始)递归谓词”等概念,在N中把上述命题G作为一条公式构造了出来,进而再严格地证明该公式和它的否定在N中都不可证。由于涉及许多技术性很强的概念和证明过程,对此就不多作介绍了。


显然,在哥德尔的证明过程中,需假设N是相容的。因为如果N是不相容的,则根据经典逻辑演算,逻辑矛盾可以推出任何东西,那么N自然也就是完全的了。但那是一种没有用的完全性。因此,哥德尔的上述结果的完整表述是:如果N是相容的,则在N中存在公式G,G与G在N中均不可证。在哥德尔的证明过程中,使用了较强的ω-相容性。但后来经罗塞尔研究,ω-的限定是不必要的。


既然不可证的G是N中的一个特殊公式,如果我们把它加进N中作为一条公理,系统是不是就完全了呢?答案是否定的。哥德尔指出,在这个加进新公理的系统中,仍然可用类似的程序找到一个新的不可证的公式。如果再把这个公式作为公理,又可以找到另一个不可证公式。这个过程可不断地重复下去。由此,哥德尔的结果可进而表示为:


对任一充分丰富的形式算术系统来说,如果它是相容的,则系统中一定存在这样的公式,该公式及其否定在系统中都不是可证的。


将之与语义解释联系起来,则上述结果即为:任一充分丰富的形式算术系统都有在系统内可表达但不可证明的算术真理。换言之,不存在这样一个形式系统,它的定理可以穷尽所有算术真理。


由于大多数数学形式系统都以形式算术为子系统,因此,哥德尔的结果自然也适用于这些数学系统。特别地,哥德尔强调他的定理适用于ZFC和PM系统,他的论文题目即为《论PM及有关系统中的形式不可判定命题I》。这样,哥德尔定理就推广到本节开头的表述。


从哥德尔不完全性定理导出的一个推论(通常称“第二不完全性定理”)是:


对任一足够丰富的数学形式系统而言,如果它是相容的,则其相容性不能在该系统之内得到证明。


这个推论的证明在直觉上也是容易理解的。不完全性定理告诉我们:“如果系统N是相容的,则G在N中不可证。”该假言命题的后件在N中的表达就是G本身。而如果该命题的前件“系统N是相容的”可以表达为N中的公式并证明其为定理,则根据经典逻辑演算的分离规则(肯定前件必肯定后件),在N中立即可证明G。这与不完全性定理相矛盾。由此可知N的相容性不能在N中证明。再经推广可得出上述推论。


显然,哥德尔不完全性定理是对希尔伯特规划的否定。希尔伯特规划的目标是用有穷方法证明数学形式系统首先是形式算术的相容性,而希尔伯特所要求的严格有穷方法总可以在形式算术内部得到表达。因此,上述推论清楚地表明:依照希尔伯特规划,用有穷方法证明形式算术及包含形式算术的数学形式系统的相容性,是根本不可能的。特别地,ZFC系统和PM系统,由于都内在地含有形式算术,因而其绝对相容性的证明是不可能的。



如果仅从推翻希尔伯特规划上去理解哥德尔定理,以为它只有否定性意义,那是不正确的。就科学价值而言,这个定理的出现极大地推动了数学基础理论的进步。不完全性定理令人信服地表明:数学真理性不等于形式系统的可证性,从而说明数学形式的研究不能完全替代内容的分析。因此,它直接促进了形式系统的语义分析特别是为数学理论建立模型的研究的深入,形成了一门新的学科——模型论。哥德尔在证明不完全性定理的过程中所运用的高超技术方法,直接导致了递归函数论的建立,而这门学科对当代计算机科学和人工智能的研究是至关重要的。同时,哥德尔定理只是否定了单纯依靠有穷方法证明形式系统相容性的可能性,决没有否认一般意义的元数学研究的意义(哥德尔定理本身就是一个元数学定理)。相反,元数学研究突破了有穷的限制而得到了更大的发展。哥德尔定理表明,一个足够丰富的形式系统的相容性的证明,只能在一个比它更丰富的元理论系统中获得。从而,每一次相容性证明都是数学认识的无穷进展的一个阶段。


讨论哥德尔定理的哲学意义,必须建基于正确理解其科学涵义的基础之上。对哥德尔尔定理的误视与错解,我们可以举《走向未来》杂志创刊号上刊登的《发展的哲学》一文为例。作者写道:“1931年,奥地利数学家哥德尔证明了一个震撼数学界的定理,这就是哥德尔不完备(全)性定理。这个定理的大致内容如下:如果一个复杂的逻辑体系中任何一个命题非真非假,都可以用逻辑推理加以判定,或者用数学语言讲,这个理论体系是完备的,那么,这个理论体系就不可能是无矛盾的。如果我们要求这个理论体系是无矛盾的(数学上称为一致性),那么它就不可能是完备的,其中必定存在着非真非假的不可判定的问题。世世代代以来,数学家对逻辑体系抱着一个十分坚定的信念:理论体系必须是无矛盾的,即具有一致性。只要我们排除了矛盾,逻辑推理必然是绝对确定的,每一个符合逻辑的命题非真即假,似是而非不真不假是不允许的;我们总可以从预定的公理和假设来判定某一结论的真或假。哥德尔定理犹如一个晴天霹雳,它证明,逻辑体系的无矛盾性和绝对确定性(完备性)是不能同时成立的!”对照我们前面有关哥德尔定理的考察可以看出,上述对哥德尔定理的这种“大致”解释有两个重要误视:


(1)混淆了可证性和真实性这两个不同的概念。如前所述,可证性是形式系统中的语型概念,而真实性是语义概念。“可证定理”和“真理”二者在具有完全性的系统中相重合,而在不完全的系统中是不重合的。一个在系统中可表达的命题不可证,并不意味着它是“非真非假”的。正因为在经典数学理论中一个命题本身或真或假(这是由排中律确定的),但又在系统中不可证,才造成了系统的不完全性。哥德尔之所以能在形式算术中找到不可证命题,其关键正式明确区分开可证性和真实性这两个不同概念,把有关真实性的、导致悖论的命题B改造成有关可证性的、不导致悖论的命题G,并通过严格的技术手段使之在形式算术系统中得到了构造。命题G在形式算术中无法证明,但直觉地看显然是个真命题。把这两个关键性概念相混淆,就不能正确理解哥德尔定理的科学含义。


(2)混淆了逻辑系统和数学系统。该文认为哥德尔定理是关于逻辑的,而且适用于一切逻辑系统;虽然有时加上“复杂的”限制,但并未说明该词的确切含义。通篇文章多有这样的表述:“任何一个无矛盾的逻辑体系内部总有一些部分不能被逻辑推理之光所照射”,“‘不可证命题’是任何一个逻辑体系必定包含的”,如此等等。殊不知,正是哥德尔定理揭示了不完全的理论系统与完全的理论系统的深刻差异。如前所述,狭谓词逻辑的形式系统已被证明既具有相容性又具有完全性。同时,也可证明许多复杂性弱于形式算术的形式系统是完全的。对于复杂性弱于形式算术的系统而言(包括许多不完全系统的子系统),原则上可建构无数个既相容又完全的系统。换言之,哥德尔定理的适用条件,是一个系统达到如系统N那样的充分丰富的形式算术系统的复杂度。由于在这样的系统中已本质地包含了非逻辑公理,因而哥德尔不完全性定理是关于数学形式系统的而不是关于逻辑的(即它是一条元数学定理而不是一条元逻辑定理)。不能因通用的“数理逻辑”一次而望文生义地认为它是一个关于逻辑的定理,更不是关于任一逻辑系统的定理。


证明了一个系统的完全性,是否就像该文所说的那样证明了改系统的“绝对确定性”呢?其实,依逻辑学的惯常用法,完全性和确定性也是两个异质概念。确定性一般和系统的相容性相关联,而完全性则与系统的推理能力相关联。一个系统被证明为完全的,只是说在它内部可表达的命题(这种命题的数量往往是无限的),原则上均可得到证明,而不是说它的所有定理都已得到证明。例如,狭谓词逻辑形式系统被证明是完全的,但其所可能证明的定理是无穷的,而且从总体上狭谓词逻辑系统连能行可判定性都不具有,何谈“绝对确定性”呢?


在上述讨论与澄清的基础上,哥德尔定理的哲学意义至少可以指出两点:


(1)哥德尔定理以精密的形式揭示了数学理论内容与形式的辩证关系。形式化系统的建立与发展,充分体现了形式对于内容的相对独立性;而哥德尔定理的出现表明,任何数学形式系统,都不足以涵盖内容足够丰富的数学领域。数学形式系统的发展,要受内容的决定和制约。尽管哥德尔定理只是就数学形式系统而言,但由于科学形式化趋势已愈益普遍,哥德尔定理对于形式系统局限性的揭示,就具有普遍的方法论意义。


(2)哥德尔定理的证明表明,一个不完全系统中的不可证命题,是在追求系统的完全性的过程中获得的;而证明此命题的继续努力,则意味着向更高的理论层次迈进。同时,不完全系统的相容性的证明,也只能在一个层次更高、内容更丰富的系统中相对地获得。这既是辩证哲学所揭示的人类认识无限发展原理的科学表现,又是其在数学领域的一种深化。哥德尔定理决不是对不可知论的支持,而是恩格斯在《反杜林论》中的下述论断在元数学中的形式刻画:“人的思维是至上的,同时又是不至上的;它的认识能力是无限的,同时又是有限的。按它的本性、使命、可能和历史的终极目的来说,是至上的和无限的;按它的个别实现和每次的现实来说,又是不至上的和有限的。”

本文为讲座整理稿,载《自然观的使命》(香港联华出版社1992年版)“数理逻辑、元数学与辩证法”章之一节,收入张建军著《在逻辑与哲学之间》,中国社会科学出版社2013年版。

编辑 | 许美静

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