2022初中数学必刷好题（2）—割线定理、切割线定理、切线长定理

圆的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。

如图 1（1），在⊙ O 中，AB、CD 相交于点 P，则 PA·PB＝PC·PD。

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

如图 1（3），有 PA·PB＝PC·PD。

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

如图1（4），有PA=PC·PD

当点 P 从圆内运动到圆上、圆外时（从图 1（1）到图 1（3）），总有 PA·PB＝PC·PD，图 1（2）中，点 B、D 与点 P 重合，PB＝PD＝0，PA·PB＝PC·PD 同样成立。

当割线 PBA 绕着点 P 旋转到切线 PA 的位置时，点 B 与 A 重合，结论不变，仍有 PA·PB

＝PC·PD，此时PA=PB，所以PA=PC·PD

当割线 PDC 也变为切线 PC 时，总有 PA·PB＝PC·PD，因为 PC＝PD，PA＝PB，所以PA=PC，即PA＝PC，此为切线长定理。

当图 1（1）中的两条相交弦的位置调整为：其中一条为直径，另一条弦与直径垂直，

根据相交弦定理，同样有 PA·PB＝PC·PD 又根据垂径定理， 2＝PC·PD。当图 1（1）中的两条相交弦的位置调整为：其中一条为直径，另一条弦与直径垂直，根据相交弦定理，同样有 PA·PB＝PC·PD 又根据垂径定理，有PA=PB，所以PA ＝PC·PD。

在上面的图形变化中，点 P 的位置和 AB、CD 的位置在不断地变化，而变化中有不变量，即 PA·PB＝PC·PD 的关系是不变的。我们应抓住图形的本质特征，我们把相交弦定理、割线定理、切割线定理统称为圆幂定理。