1、sin(-x)=-sinx。

2、y=sin(-x)与y=-sinx的函数图象完全重合。

3、y=sin(-x)与y=-sinx有着完全相同的图象和性质。

一、“sin(-x)=-sinx”的推导过程

方法一、利用诱导公式。

根据正弦函数诱导公式“sin(-α)=-sinα”，用“x”替换诱导公式中的“α”即得sin(-x)=-sinx。

方法二、利用正弦函数的奇偶性。

奇函数满足：对定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)。

因为正弦函数是奇函数，令f(x)=sinx，则由“f(-x)=-f(x)”即得sin(-x)=-sinx。

方法三、利用三角函数定义。

易知，角“x”与角“-x”的终边关于x轴对称。

设角“x”终边与单位圆的交点坐标为(a,b)，则角“-x”终边与单位圆的交点坐标为(a,-b)。

此时，根据三角函数定义有：sinx=b，sin(-x)=-b。所以，sin(-x)=-sinx。

二、“y=sin(-x)”的函数图象

因为sin(-x)=-sinx，所以y=sin(-x)与y=-sinx的函数图象和性质完全相同。其函数图象见下图所示。

三、“y=sin(-x)”（即“y=-sinx”）的函数性质

1、定义域和值域

y=sin(-x)的定义域为全体实数R，值域为[-1,1]。

【注】y=sin(-x)的函数图象完全落在直线“y=-1”和直线“y=1”之间。

2、函数的最值和零点

（1）函数值的最小值为-1，函数值的最大值为1。

【注】函数y=sin(-x)的最值在其函数图象的对称轴处取得。

（2）在x=2kπ+π/2,k∈Z处，y=sin(-x)取得最小值-1。

（3）在x=2kπ-π/2（或x=2kπ+3π/2），k∈Z处，y=sin(-x)取得最大值1。

（4）在x=kπ,k∈Z处，y=sin(-x)的函数值y=0，故y=sin(-x)的零点为kπ,k∈Z。（注：函数的零点不是“点”）。

3、周期性

y=sin(-x)是周期函数，最小正周期为2π。

4、对称轴和对称中心

sin(-x)的函数图象既是轴对称图形，又是中心对称图形。

（1）y=sin(-x)函数图象的对称轴为x=kπ+π/2,k∈Z。

（2）y=sin(-x)函数图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z。

5、奇偶性

y=sin(-x)的函数图象关于原点对称，所以y=sin(-x)是奇函数。

6、单调区间

（1）单调递增区间：[2kπ+π/2,2kπ+3π/2],k∈Z。

（2）单调递减区间：[2kπ-π/2,2kπ+π/2],k∈Z。

四、y=sin(-x)和y=sinx图象、性质的联系和区别

y=sin(-x)和y=sinx的图象性质的联系和区别如下。

1、定义域、值域、周期、函数的零点和奇偶性都相同。

2、最值点、单调区间正好相反。

3、根据“y=sin(-x)=-sinx”，可得“y=sinx”和“y=sin(-x)”的图象既关于x轴对称，又关于y轴对称。

【注意】“y=sin(-x)”和“y=sinx”都是奇函数，但“y=sin(-x)”的函数图象与“y=sinx”的函数图象之间不关于原点对称。

4、把“y=sin(-x)”的函数图象向左平移“π”个单位长度就能得到“y=sinx”的函数图象。同理，把“y=sinx”的函数图象向右平移“π”个单位长度也能得到“y=sin(-x)”的函数图象。

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