1928年,数学家约翰·福布斯·纳什(John Forbes Nash Jr)出生于西弗吉尼亚州。他于2015年5月23日在新泽西州的一场车祸中去世,几天前他在奥斯陆(挪威首都)获得了著名的阿贝尔奖。在2001年奥斯卡获奖电影《美丽心灵》中,纳什的故事被广泛传播开来。

早年(1928-45)

纳什在他的诺贝尔自传中描述了他小时候读了很多书,包括康普顿的《图画百科全书》。纳什很早就表现出对实验的极大兴趣。在他12岁的时候,他已经 "把自己的房间变成了一个实验室。他摆弄收音机,玩弄电器小玩意,做化学实验。

在他读高三时,他获得了乔治-威斯汀豪斯奖学金。追随父亲的脚步,纳什于1945年申请进入卡内基技术学院学习工程。

在卡内基技术学院(1945-48年)

纳什在卡内基理工学院(现在的卡内基梅隆大学)上了四年的大学。纳什最初就读于化学工程专业,后来转到化学专业,他大部分时间都在反抗该专业的制度化和课程中缺乏数学的严谨性。作为一个天生的研究者,他反对这样的观念,即衡量一个人的表现 :

不是看他的思维能力有多强,而是看他在实验室里能不能处理好吸管和进行滴定"(纳什,1998)。

当他回到大二时,纳什发现一群出色的新研究人员加入了大学的教员队伍,包括物理学家约翰-辛格、理查德-达芬,以及数学家劳尔-博特和亚历山大-温斯坦。从一开始,纳什就以他的聪明才智吸引了他们的注意。他们最终促使他从化学转向数学,并认真考虑学术生涯。到了第二年的中期,他几乎只专注于数学。

最后我在数学方面学到了很多东西,并取得了很大的进步,以至于我毕业时,他们除了给我学士学位外,还给了我一个硕士学位。

到1948年春天,也就是他大三的时候,纳什已经被哈佛、普林斯顿、芝加哥和密歇根大学录取。在卡内基,达芬和辛格都建议纳什选择普林斯顿。尽管哈佛大学是他的第一选择(因为其声誉、社会地位和师资),但纳什在普特南竞赛中表现平平,导致哈佛大学提供的资金略低于普林斯顿大学。根据他的诺贝尔自传,普林斯顿离他在布鲁菲尔德的家人很近,这是一个额外的考虑。这些因素,再加上他在卡内基的老师的鼓励,纳什最终决定选择普林斯顿,并于1948年夏天前往新泽西。

  • 左图:纳什在卡内基理工学院的论文导师理查德·达芬给普林斯顿大学所罗门·莱夫谢茨教授的推荐信。右图:卡耐基数学系系主任约翰·辛格的推荐信

在普林斯顿大学(1948-51)

纳什20岁时进入研究生院。当时,普林斯顿大学的数学系充满了聪明的大脑,由莱夫谢茨领导。莱夫谢茨的学生阿尔伯特-W-塔克主导的博弈论在当时完全是一门新建立的学科。约翰-冯-诺伊曼和经济学家奥斯卡-摩根斯坦在1944年出版的《博弈和经济行为理论》一书,使这门学科焕发了活力。

纳什的游戏(Hex)

到20世纪40年代末,教师和研究生们最喜欢的消遣方式是棋类游戏,包括著名的围棋。在此期间,纳什自己发明了一种后来被称为 "Hex "的游戏。然而在当时,普林斯顿大学的每个人都简单地称这个游戏为 "纳什游戏"。纳什游戏是在一个14x14(通常)的菱形网格上进行的,使用黑色和白色的棋石。两位棋手交替将棋子放在六边形空间内。棋子一旦下完,就不能再移动。每位棋手的目标是构建一条从棋盘的一条边到另一条边的棋子连接路径。

纳什是第一个证明Hex不能以平局结束的人。这个结果被称为 "Hex定理"。该定理后来被证明等同于著名的布劳威尔定点定理。

  • Hex游戏棋盘

布劳威尔定点定理在此值得一提,因为它被用于纳什对纳什均衡的首次证明,他最终因此获得了1994年诺贝尔经济科学纪念奖。它的延伸,即角谷不动点定理,后来也被纳什用于同一结果的更优雅的证明中。

角谷定点定理(角谷,1941年)


设S是某个欧几里得空间R^n的一个非空的、紧凑的、凸的子集。让φ: S -> 2^s是S上的一个集值函数,它有一个封闭的图形,其性质是φ(x)对所有x∈S都是非空的和凸的,那么φ有一个固定点。

为了理解它的属性,举例来说,想想一个定义在闭合区间[0,1]上的集值函数f(x),它把一个点x映射到闭合区间[1-x/2, 1-x/4]。那么f(x)一定有固定点。在上图中,红线上与函数图(灰色)相交的任何一点都是一个固定点,因此在这种特殊情况下有无限多的固定点。

除了他关于Hex游戏不可能以平局结束的定点证明之外,纳什还提供了一个还原性的存在证明,即在任何大小的棋盘上,Hex游戏的先手方都有一个获胜的策略。这个证明在其他一些游戏中也很常见,并被称为策略窃取论。

纳什的研究(1948-58)

在数学家的分类学中,有问题解决者和理论家,纳什属于第一类。

由于受到后来的精神疾病的影响,纳什的主要研究生涯非常短暂,从1948年来到普林斯顿到1958年被诊断出精神病,只有九年时间。关于他自己的研究生研究,纳什本人在他的诺贝尔自传中说:

作为一个研究生,我研究了相当广泛的数学,并且很幸运,除了发展了导致 "非合作博弈 "的想法,我还发现了关于流形和实代数的多样性。因此,我实际上已经准备好了,博弈论研究在数学系不被视为可接受的论文,然后我可以用其他成果实现博士论文的目标。

  • 纳什在1950年的博士毕业典礼上

1950年,他在22岁时获得了普林斯顿大学的数学博士学位。 他28页的博士论文题为《非合作性博弈》(1950)。这篇论文是在塔克的指导下撰写的,其主要成果是纳什均衡的推导、定义和特性描述。

讨价还价问题(1949年)

纳什的第一篇期刊论文(在他研究纳什均衡之前写的)也是博弈论方面的,涉及讨价还价的经典经济问题。

纳什的论文描述了一种讨价还价的情况,即两个人有机会互利,但其中一个人单方面(未经同意)采取的任何行动都不能影响另一个人的利益。想一想经典的 "分割和选择协议",即两个人试图平均分配一个蛋糕,其中一个人切,另一个人选择他想要的那一块。

纳什的论文旨在对这种讨价还价的情况进行理论讨论,并在某些条件和其他“理想化”的情况下提供一个明确的“解决方案”。这种理想化包括这样的假设:两个人都是理性的,能够准确地比较他们对各种事物的偏好,拥有平等的讨价还价技能,以及关于另一个人偏好的完整信息。

纳什采用了冯-诺伊曼和摩根斯坦的《游戏与经济行为理论》中提出的效用概念。它还采用了期望值的概念,以确定在各种策略下,不同玩家的所得将是多少。纳什在他的论文中用一个叫史密斯先生的人作为例子,他知道自己明天会得到一辆别克车,因此可以说他有 "别克车的期望"。同样地,他也可以有 "凯迪拉克的期望"。如果他知道明天会抛出一枚硬币来决定他是得到一辆别克还是凯迪拉克,我们可以说他有50%的别克和50%的凯迪拉克的期望。

纳什为发展这种情况下单个人的效用理论提供了充分的假设,并着手将他的论文与《游戏与经济行为理论》中的论文区分开来。在他看来,《游戏与经济行为理论》有不足之处,因为它没有试图为每个人参与游戏的机会找到价值,除非这个游戏是零和的。然后,纳什继续推导出这种两人非零和游戏中玩家的预期值。

纳什定义了两个人的效用函数u_1、u_2和c(S)为集合S中的解点,这个集合是紧凑的、凸的并包括原点。他提出了必要的假设,并表明这些条件要求解是位于第一象限的集合中的点,其中u_1u_2被最大化。集合的紧凑性保证了它的存在,而凸性则保证了它的唯一性。

纳什与约翰-冯-诺伊曼

尽管与冯-诺依曼和摩根斯坦在“合作博弈理论”方面的研究成果有些对立,但纳什为非合作博弈理论建立基础的成果显然源于冯-诺依曼的工作(说明这一点的是,1978年纳什因其发现纳什均衡而被授予约翰-冯-诺依曼理论奖)。

现在只能找到一个关于纳什和冯-诺伊曼之间交流的记录,尽管肯定还有很多现在已经被时间遗忘的记录。在他定义纳什均衡之前,去找冯-诺伊曼谈话。

他狂妄地告诉秘书,他想讨论一个冯-诺伊曼教授可能感兴趣的想法。对于一个研究生来说,这是一件相当大胆的事情(但这是典型的纳什,他在一年前带着一个想法的萌芽去见爱因斯坦)。纳什开始像冯诺依曼描述他心目中的证明,即在两个以上玩家的博弈中的均衡。但是,在他说出几个不连贯的句子之前,冯-诺伊曼打断了他,跳到了纳什论证中尚未说明的结论,并突然说:"那是微不足道的,你知道,这只是一个固定点定理。

冯-诺伊曼没有看到纳什的讨价还价理论的价值。然而,冯-诺依曼和摩根斯坦恩最终确实为纳什提供了宝贵的指导,在发表的版本中,纳什承认了他们两人的作用,他写道:"作者希望感谢冯-诺依曼和摩根斯坦恩教授的帮助,他们阅读了论文的原始形式,并对论文的表述提出了有益的建议。"

纳什均衡(1950年)

我想我已经找到了一种方法来概括冯-诺依曼的最小-最大定理,其基本思想是,在两人的零和解决方案中,两人的最佳策略是......整个理论都建立在这个基础上。而且它适用于任何数量的人,不一定是零和游戏!(纳什)

盖尔意识到,纳什的想法适用于比冯-诺伊曼的零和博弈概念更广泛的现实世界情况。

盖尔还通过向国家科学院起草一份报告,帮助纳什尽快发表自己的研究成果。结果在不到一页题为《N人博弈的均衡点》的文章中出现在了1950年1月的《美国国家科学院院刊》第36卷上。

这个结果,后来被称为纳什均衡。该定理非正式地指出:

如果没有任何一方可以通过单方面改变自己的策略而做得更好,那么一个策略配置就是纳什均衡。

也就是说,在二人博弈中,一对策略构成纳什均衡。没有一个玩家可以独自改变自己的策略来获得更优的结果。至关重要的是,双方都不知道对方会选择什么策略,而是只根据自己的利益行事,并了解其他玩家的利益。这一发现适用于n个参与者。

其他成果

实代数流形(1952年)

纳什的另一个可能的博士论文结果,被他描述为“关于流形和实代数族的一个很好的发现”,与他在纳什均衡方面的工作非常不同,这个非常深入的研究是高度抽象和缺乏应用的。

在他的论文《实代数流形》中,纳什自己写道,该论文的主要目的是 "发展微分几何和实代数几何之间的一些联系"。

代数族是代数几何中的核心研究对象。它们是由一个或多个代数方程描述的点的位置所定义的对象。思考它们的一种方式是将代数曲线(欧几里得平面上的点的集合,其坐标是某个双变量函数的零点)概括为n个维度,例如单位圆,它是多项式x^2+y^2-1的零点集合。 扭曲立方体是代数族的一个例子:

  • 扭曲立方是一个投影代数簇

流形是一个拓扑空间,它在每个点附近都与欧几里得空间相似,也就是说,n维流形的每个点都有一个与n维欧几里得空间同构的邻域。

另一方面,流形是局部类似于规则的、正常的欧几里得空间的拓扑对象,即在一维线的情况下 "看起来很直",在二维平面的情况下 "很平"。简单地说,它们是整体上实际上拓扑不规则的物体,但局部上似乎不是。

流形的概念现在是几何学许多部分的核心,因为它允许复杂的结构用正常欧几里得空间的较简单的局部拓扑特性来描述和理解。这使得它们在物理学,特别是宇宙学和天体物理学中特别有用。在一维空间中,流形可以是一条直线或一个圆,但不是一个八字形,因为它的交叉点与欧几里得1维空间没有局部同构关系。在二维空间中,流形是一些表面,如平面、球面、环面、克莱因瓶和实投影面,所有这些都可以嵌入三维实空间中。

代数流形,是代数族,也是流形。也就是说,它们是一组多项式方程组的解,在每个点附近也与欧几里得空间局部相似。它们可以被定义为实数和复数。因此,代数流形是由多项式定义的平滑曲线和曲面概念的概括。最典型的例子是球体,它可以被定义为多项式x^2+y^2+z^2-1=0的零集。

纳什的论文特别着眼于R上的代数流形,即那些由实数定义的点组成的流形。这种函数后来也被称为纳什函数。

流形嵌入(1956)

纳什在拓扑学方面的研究被许多数学家认为是他最杰出的成果。在一次讨论中,一位纳什的反对者说:“如果你这么牛逼,你为什么不去解决流形嵌入问题,这是一个众所周知的难题,自黎曼提出以来就一直存在。

纳什做到了。

抽象黎曼流形在多大程度上比欧几里得空间的子流形更普遍?

纳什在一篇题为“C-isometric imbeddings”的高度技术性论文中解决了这个问题。论文共分为四个部分。正如纳什本人说,对紧凑流形的处理已经完成,我们陈述了定理2,其本质上是这样的:

每一个紧凑黎曼n流形都可以作为欧几里得(n/2)(3n+11)空间的一个子流形来实现。

纳什定理,后来被称为纳什嵌入定理,指出任何类型的流形(表面、体等),只要表现出一定程度的平滑性(即没有交叉点和奇异点),都可以嵌入欧几里得空间中。

纳什的证明回答了 "将任何黎曼流形嵌入欧几里得空间 "是否可能的问题。一方面,这个关于几何学基础的 "深刻的哲学问题 "可能是每个感兴趣的数学家都曾问过自己的问题。另一方面,纳什的证明为一个开放的问题提供了一个重要而明确的答案,而大多数人,甚至该领域的大多数专家都会认为这个问题是错误的。与他在博弈论方面的工作不同,这个结果确立了纳什作为一个一流的纯数学家的地位。

偏微分方程(1958)

最终导致纳什在2015年与路易斯-尼伦伯格一起获得阿贝尔奖的论文题为《抛物线和椭圆方程解的连续性》。这篇论文解决了非线性偏微分方程的问题。关于它的起源,尼伦伯格回忆说:

我从事偏微分方程的研究。我还研究过几何学。这个问题与某些叫做椭圆偏微分方程的不等式有关。这个问题在这个领域已经存在了一段时间,很多人都在研究它。早在1930年代,就有人在二维空间获得了这种估计。但在更高维度上,这个问题已经开放了30年。

  • 抛物型和椭圆型方程解的连续性。

据称,纳什在尼伦伯格提出这个问题后就开始研究。20世纪50年代的数学家们知道用计算机解决常微分方程的相对琐碎的程序。然而,当时还没有解决非线性偏微分方程的既定方法,例如在喷气发动机的湍流运动中出现的那些方程。纳什自己也写了关于这项工作的文章。

对于粘性、可压缩和导热流体的一般流动方程的解的存在性、唯一性和平稳性知之甚少。这些是一个非线性抛物线方程组。对这些问题的兴趣促使我们开展这项工作。很明显,如果没有处理非线性抛物线方程的能力,对一般流体流动的连续描述就无能为力,而这又需要对连续性的先验估计。

纳什花了大约六个月的时间才得出他的定理。到了1958年春天,纳什能够使用他自己发明的方法获得基本的存在性、唯一性和连续性定理。令人吃惊的是,这些方法涉及 "将非线性方程转化为线性方程,然后用非线性方法来解这些方程",这是以前没有人想到的,这是 "天才之举"。

大约在同一时间,纳什的成就确实也引起了其他人的注意。《财富》杂志在其7月号上刊登了一篇关于这位30岁的年轻人的故事。在纳什于2015年去世后,这篇报道被重新发表在该杂志的网站上。

精神疾病(1959-80年代)

这些想法来到我身边,与我的数学想法一样。所以我相信它们。纳什

纳什的精神疾病首先表现为妄想症。他的谈话总是将数学和神话混合在一起。在他的博弈论课程中,据上课的学生说,纳什的表现和他平时一样。他在没有事先宣布的情况下进行了期中考试。他还经常踱步,有时在讲课或回答学生问题的过程中陷入沉思。

纳什在1959年首次住院治疗。1961年,他被送入位于特伦顿的新泽西州立医院,在那里他接受了抗精神病药物和胰岛素冲击疗法。在接下来的9年里,他在精神病院里进进出出,在清醒期和偏执期之间跳来跳去。1970年后,他再也没有被送进医院,并且在他的余生中著名地拒绝了所有的药物治疗。

在60年代后期我回到梦境般的妄想假设后,我成为一个受妄想影响的人,但行为相对温和,因此倾向于避免住院和精神病医生的直接关注。

我不太记得时间顺序,到底是什么时候我从一种思维方式转为另一种。我开始与声音的概念争论。最终我开始拒绝他们,并决定不听。

诺贝尔奖 (1994)

1994年10月11日,瑞典中央银行纪念阿尔弗雷德·诺贝尔经济学奖宣布,1994年诺贝尔经济学奖将授予:

  • 加州大学伯克利分校的约翰-C-哈萨尼教授

  • 普林斯顿大学的约翰-F-纳什博士

  • 莱茵弗里德里希-威廉姆斯大学的Reinhard Selten教授

以表彰他们在非合作博弈理论中对均衡的开创性分析。新闻稿将非合作博弈理论与冯-诺伊曼和莫根斯坦的早期开创性工作区分开来。关于纳什的研究,该委员会写道:

约翰-F-纳什提出了合作博弈和非合作博弈之间的区别,在合作博弈中可以达成有约束力的协议,而在非合作博弈中,有约束力的协议是不可行的。纳什为非合作性博弈提出了一个均衡概念,后来被称为纳什均衡。

  • 哈罗德-库恩(左)和纳什(右)

晚年生活(20世纪80年代-2015年)

个人生活

1953年,纳什与他的第一任女友,一位名叫埃莉诺-斯蒂尔(1921-2005)的护士生了一个儿子。这个孩子被命名为约翰-大卫-斯蒂尔,于6月19日出生。当纳什还是普林斯顿大学的研究生时,他遇到了艾丽西亚-拉尔德,两人于1957年2月结婚,并有一个儿子约翰-查尔斯-马丁-纳什。马丁-纳什在罗格斯大学获得了数学博士学位,是国际象棋大师,也患有精神分裂症。在纳什患病期间,艾丽西亚于1963年与他离婚,但他们继续住在一起。38年后的2001年,他们重新结婚。

美丽的心灵

对纳什的生活和事业的认识和记录,大部分要归功于他的传记作者西尔维亚-纳萨尔。她的《美丽心灵》一书于1998年发行,成为《纽约时报》的畅销书,并在同年赢得了国家书评人协会的传记奖,还入围了普利策奖的评选。

阿基瓦·戈德曼后来改编了这本书。这部电影由朗·霍华德执导,罗素·克劳饰演纳什,于2001年上映。这部电影在全球获得了超过3.13亿美元的票房收入,并赢得了四项奥斯卡奖,包括最佳影片、最佳导演和最佳改编剧本。

罗恩-霍华德在他的奥斯卡奖获奖演说中感谢了纳什和艾丽西亚两人。影片上映后,纳什的传记作者西尔维娅-纳萨尔出现在查理-罗斯节目中,在题为《精神分裂症与天才》的节目中讲述了纳什的故事。

死亡与超越 (2015)

2015年5月23日,约翰和艾丽西亚在一场车祸中丧生。他们在奥斯陆旅行后从纽瓦克机场返回普林斯顿。根据新泽西州警察的说法,他们乘坐的出租车在新泽西州高速公路的左车道上向南行驶,司机在试图超过另一辆车时失去了控制。出租车撞上了护栏,然后又撞上了右边车道上的另一辆车。纳什和艾丽西亚都没有系安全带……

数学中的开放性问题

在晚年,纳什编辑了一本关于纯数学中一些最基本的开放问题的解决现状的论文集。该书名为《数学中的开放问题》。不幸的是,纳什没能看到这本书的出版,该书于2016年出版。

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