一、圆的相关概念
1、圆的定义
(1)动态的概念：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，
另一个端点A随之旋转所形成的图形叫作圆，固定的端点O
叫作圆心，线段OA叫作半径。
(2)静态的概念：平面上到定点O的距离等于定长r的所有点组成的图形叫作圆
2、圆的几何表示
以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”
3、弦
连接圆上任意两点的线段叫作弦。
4、直径
经过圆心的弦叫作直径，直径也是圆中最长的弦。
直径等于半径的2倍。
直径是弦，弦不一定是直径。
5、半圆
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫作半圆。
6、弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“
大于半圆的弧叫作优弧（多用三个字母表示）；
小于半圆的弧叫作劣弧（多用两个字母表示）
7、等圆、等弧
(1)等圆：能够完全重合的两个圆，叫作等圆。半径相等的两个圆就是等圆。
(2)等弧：在同圆或等圆中，能够完成重合的两条弧叫作等弧。
二、垂径定理及其推论
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
(2)垂径定理及其推论可概括为:
(当以①③为题设时，“弦”不能是直径。）
三、圆心角
(1)圆心角：顶点在圆心，另外两边和圆相交的角，叫作圆心角。
(2)在同圆或等圆中，以下内容可“知一推二”
四、圆周角
1、圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角。
2、圆周角定理
(1)同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
(2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
(3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
3、圆内接四边形
(1)圆内接四边形：是在同圆内，四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形。
(2)圆内接四边形性质：
①圆内接四边形对角互补。
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
五、圆的对称性
1、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
常见重点题型
1．如图，在⊙O中，点B在⊙O上，四边形AOCB是矩形，对角线AC的长为5，则⊙O的半径长为 ．
2．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为
3．如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，∠A＝63°，则∠B的度数为 ．
4．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M.若AB＝12，OM∶MD＝5∶8，则⊙O的周长为 ．
5．点P到⊙O上各点的最大距离为10 cm，最小距离为8 cm，则⊙O的半径为 ．
6．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差
为 米．
7．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，则圆拱形门所在圆的半径是 ．
8.如图,在⊙O中,直径AB⊥弦CD于点M,AM=18,BM=8,则CD的长为________.
9.已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是 cm.
10.如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为 ．
11．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．
12．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝48°，D为⊙O上一点，则∠ADC的度数是 ．
15．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝ ．
16．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.若∠D＝78°，则∠EAC＝ ．
17．已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为 ．
19．如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为 。
20．如图，AB是⊙O的直径，C, D, E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2 = .
21．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为 ．
22．在⊙O中直径为4，弦AB=2
23．如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP.若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长是 ．
24．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 cm.
25．如图，AB，AC，AD为⊙O的弦，∠BAC＝60°，∠DAC＝30°，AB＝4，AD＝6，则CD的长为 ．
26．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AC＝6，BD＝5
27．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN弧的中点，点P是直径MN上一个动点，则PA+PB的最小值为 ．
28．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.
(1)求BC的长；
(2)求BD的长．
29．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.
求证：(1)AD＝CD；
(2)AB是⊙O的直径．
30．如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD.连接AC交圆O于点F，连接AE，DE，DF.
(1)求证：∠E＝∠C；
(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数．
31．某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
33．如图，已知⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD于点E，F为DC延长线上一点，连接AF交⊙O于点M.求证：∠AMD=∠FMC.
34．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为点E，连接AC，CE.
（1）求证：∠B=∠D；
(2) 若AB=4，BC-AC=2，求CE的长.
