excosx的不定积分是什么？用两种方法求解，你都学会了吗？
老黄知识共享2021-10-07 14:57
e^xcosx的不定积分是(e^xcosx+e^xsinx)/2+C，即∫e^xcosxdx=(e^xcosx+e^xsinx)/2+C。求这个不定积分，有两种不同的方法。
第一种方法是重复使用分部积分法。运用分部积分法之前通常要先凑积分，利用e^xdx=de^x，将原积分化为∫cosxde^x。然后是第一次分部积分法的运用，得到e^xcosx-∫e^xdcosx。
接下来连续利用dcosx=-sinxdx和e^xdx=de^x，得到e^xcosx+∫sinxde^x。再第二次运用分部积分法，就得到e^xcosx+e^xsinx-∫e^xdsinx。
从而有∫e^xcosxdx=e^xcosx+e^xsinx-∫e^xcosxdx+C，整理式子得到2∫e^xcosxdx=e^xcosx+e^xsinx+C，两边除以2就得到∫e^xcosxdx=(e^xcosx+e^xsinx)/2+C。C和C/2的内涵是相同的。
第二种方法比较特别，是反过来由导数公式推出一个类似二元一次方程组，再求出e^xcosx的不定积分。
由(e^xcosx+C1)'=e^xcosx-e^xsinx以及(e^xsinx+C2)'=e^xcosx+e^xsinx，两个式子两边都同时求积分，可以得到：
{∫e^xcosxdx-∫e^xsinxdx=e^xcosx+C1；∫e^xcosxdx+∫e^xsinxdx=e^xsinx+C2}
两式相加就得到2∫e^xcosxdx=e^xcosx+e^xsinx+C，同样两边除以2，就可以得到∫e^xcosxdx=(e^xcosx+e^xsinx)/2+C。同时我们还可以求得∫e^xsinxdx=(e^xsinx-e^xcosx)/2+C。
最后我们来检验一下这个不定积分的结果是否正确。
((e^xcosx+e^xsinx)/2+C)'=(e^xcosx)'/2+(e^xsinx)'/2=(e^xcosx-e^xsinx)/2+(e^xcosx+e^xsinx)/2=e^xcosx.
可见这个原函数是正确的。除此之外，你还有更好的办法吗？
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