tan2α=2tanα/[1-(tanα)^2]。

【注】一般情况下，“tan2α≠2tanα”。

一、证法一（利用正切和角公式证明）

1、正切和角公式：

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/[1-tanαtanβ],

2、在正切和角公式中，令“β=α”，则有：

tan(α+α)=(tanα+tanα)/[1-tanαtanα]

化简等式左右两边后即得：

tan2α=2tanα/[1-(tanα)^2]。

二、证法二（利用正、余弦和角公式证明）

1、正弦、余弦和角公式：

（1）sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;

（2）cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;

2、利用正切与正、余弦的“商数关系”：

tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)

=(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ-sinαsinβ)

3、令“β=α”，则有

tan(α+α)=(sinαcosα+cosαsinα)/(cosαcosα-sinαsinα)

所以，tan2α=(2sinαcosα)/[(cosα)^2-(sinα)^2].

4、等式右边的分子、分母同除以“(cosα)^2”得：

tan2α=2tanα/[1-(tanα)^2]。

【注】也可以直接用“正、余弦二倍角公式“”的商。如下面所示的证明方法。

三、证法三（正余弦倍角公式）

1、sin2α=2sinαcosα，cos2α=(cosα)^2-(sinα)^2。

2、tan2α=sin2α/cos2α=2sinαcosα/[(cosα)^2-(sinα)^2]

3、化简得：tan2α=2tanα/[1-(tanα)^2]。

四、正切二倍角公式的应用实例

【例题】用tan30°表示tan60°的值。

解：因为tan60°=tan(30°+30°)=tan(2×30°)，

所以，tan60°=2tan30°/[1-(tan30°)^2]。

一线教育名师，其它相关“正切二倍角公式及其证明、应用”的中学数学问题，可以点击下方卡片提问以便及时获得针对性帮助。