影响人类文明几千年的“毕达哥拉斯学派”,到底是一个怎样的组织?请看:
数学电影——《毕达哥拉斯》
1
从“证明几何学”鼻祖泰勒斯说起
提及“毕达哥拉斯”,我们有必要追溯古希腊文明,了解泰勒斯。
据传说,证明几何学是米利都的泰勒斯开创的,毕达哥拉斯曾想拜他为师。
他是古希腊七贤之一,生活在公元前6世纪前半期,曾经用一根木棒测出胡夫金字塔的高度,轰动了古埃及。
几何学中,下列基本成果也归功于他:
①圆被任一直径二等分;
②等腰三角形的两底角相等;
③两条直线相交,对顶角相等;
④两角和一边对应相等的两个三角形全等;
⑤内接于半圆的角必为直角。
泰勒斯的这些成果不仅在定理本身,更难能可贵的是——他提供了它们的某种逻辑推理。
例如“两条直线相交,对顶角相等”:
∠1=∠2曾作为十分明显的事实被考虑过,如果谁对这个结论表示怀疑,他们可以把一个角裁下来,叠置于另一个角上,让他信服。
泰勒斯则采用逻辑推理的方法:
因为∠1+∠3是一个平角,
∠2+∠3也是一个平角;
所以∠1=∠2;
靠的是从更基本的关于平角的原理,开始演绎推理得出结论。
那么,“为什么所有平角都相等?”
“什么是平角?”
……
人们不断的质疑,作为源头的最基本原理又是哪些呢?
从泰勒斯作出努力开始,古希腊人不断的“刨根问底”。并从此出发,开始构建一个完整的几何体系,这成为了古希腊数学家们孜孜以求的工作。
他们不再满足于“知其然”,而是要“知其所以然”。
一个关于定义、公理、定理和证明的故事渐次展开!
热衷于探讨事物的本源,俨然成为了古希腊人的一种生活方式。
泰勒斯认为“万物的本源是水”;
阿那克西曼德则认为“万物的本源不是具有固定性质的东西”;
“人是由海鱼演化而来”;
……
2
游学20年的“苦行僧”——毕达哥拉斯
让哲学成为生活方式!
这是古希腊文明的独树之处,与它独特的地理和人文特征密不可分。古希腊地处地中海东部,山脉和海洋把人们分散在遥远的海岸上,各个城邦始终处于割据状态;
当时的社会结构也相对简单,人与人之间比较平等,战争时他们会归于一个国王领导,而国王不过是某个贵族家庭的首领。
这使得古希腊鲜有强权,在这种民主和唯理的氛围下,公元前572年左右,爱琴海上一座叫萨摩斯(Samoa)的小岛,毕达哥拉斯出生于此。
岛上盛行一种没有严格教条的奥尔菲教,有共同话题的人们经常会聚在一起,探讨着他们的信仰。
孩提时的毕达哥拉斯就是在这种氛围下长大的,成年后,他离开了萨摩斯岛,来到米利都城求学。
据说,他想追随于泰勒斯的门下,泰勒斯以年事已高为由婉拒了他,让他去找另一位哲人阿那克西曼德(归谬法的创造者),同样不受待见。
慢慢的,他发现自己融入不了米利都,这与他超然于世的冥想有关。
(毕达哥拉斯认为人分三等:最低层是做买卖的,其次是参加竞技比赛的,最高层是旁观者,也就是学者或哲学家。)
于是他离开了米利都,前往埃及求学,在那里生活了近10年,学习埃及的数学、宗教、天文……
学成之后,毕达哥拉斯踏上了回乡的归程,不幸路上被入侵的波斯人掳去古巴比伦。
因祸得福的是,不仅几何,精通算术的古巴比伦人对代数(文字叙述的代数学)也颇有研究,毕达哥拉斯在此又学习了5年,接触了许多更为先进的数学。
期间,传说他到过古印度,了解古印度的数学文化。
加上路上游历花费的四五年,毕达哥拉斯外出游学近达20年之久,此番艰险堪比取经18年、经历九九八十一难的唐玄奘。
一个集古希腊、古埃及、古巴比伦甚至古印度文化的大成者,终于回到故乡萨摩斯。
而此时,波斯人暴政下的萨摩斯已经无法容纳思想如此先进的毕达哥拉斯,于是他不得不再度漂洋过海,来到意大利的克罗内托。在那里,他传经布道,广收弟子,从而建立了影响世界数千年的“毕达哥拉斯学派”。
3
数乃神的语言——毕达哥拉斯学派
在游历过程中,毕达哥拉斯接触过各地的神秘组织,他所创建的“毕达哥拉斯学派”也是一个类似宗教的秘密团体,正五角星是他们的徽标。
学派研究涉及哲学、学术、宗教等各个领域。“哲学(philosophy)”和“数学(mathematics)”这两个词可能是毕达哥拉斯创造的。
“哲学”希腊语为Φιλοσοφα,意指“爱,智慧”;“数学”希腊语μθημα,意指“可以学到的知识”。
尤其数学,学派把属于会计师和调查员们的应用技术,转化成了一门纯粹的科学,毕达哥拉斯使数学变成一门高尚的艺术!
学派在数学上的成就主要包括以下几个方面:
证明了“毕达哥拉斯定理”
也就是勾股定理(公元前11世纪,商高见周公时提及“勾三股四弦五”,故我们称之为“勾股定理”,它是人类第一次将数与形结合在一起的重大发现)。
据说一次教派晚宴,主角毕达哥拉斯趁着大家觥筹交错之际,溜到一旁,盯着墙角的方形拼砖,灵感迸发,用面积法证明了直角三角形三边的关系。
(西方学者认为,毕达哥拉斯第一个证明了该定理,故称之为“毕达哥拉斯定理”。也有传说他为此杀了100头牛表示庆祝,从学派素食主义的观点上看,这一说法未必可信!)
特殊数和数组
如完全数,即等于它真因子之和的数。
例如6的真因子为1、2、3,1+2+3=6;常被用于占卜的完全数是28,当时人们认为月亮绕地球一周为28天,而28=1+2+4+7+14,这样的发现带来了许多的神秘色彩。
(完全数迄今为止只发现了49个,并且都是偶数,至于能不能找到奇数的完全数,或者奇完全数就不存在,至今没人解决。)
又如亲和数220和284:
220的真因子之和:
1+2+4+5+10+20+22+44+55+110=284;
284的真因子之和:
1+2+4+71+142=220;
他们认为这两个数充满着爱情的味道,两者彼此“含情脉脉”!
数与数组的研究还有三角数(1, 3, 6, 10……)、正方形数(1, 4, 9, 16……)、五边形数(1, 5, 12, 22……)、毕氏三数(勾股数)等;诚然,学派是数论发展的先驱。
正多面体
据柏拉图记载,在五种正多面体中,学派成员蒂迈欧将4种容易作出正多面体——正四面体、正八面体、正二十面体和正六面体,与火、气、水、土神秘的联系起来,至于难作的正十二面体,将它与包罗万象的宇宙联系在一起,后来亚里士多德称之为“以太”(除了水、火、气、土之外,还有一种居于天空之上的以太)。
发现无理数
信徒希帕索斯发现单位正方形对角线长根号2,不是有理数,引发了“第一次数学危机”。
(甚至有学者认为“黄金分割”也是毕达哥拉斯学派发现的,有它们的正五角星徽标为证。这可能是一种臆测,因为,“第一次数学危机”因学派后来发现不可公度的无理数根号2而起,有悖于无理数“黄金比值”的提前知晓,也许,学派选择正五角星为徽标,是出于图形美的直觉。)
不仅如此,在毕达哥拉斯看来,最能净化人们心灵的,一定是音乐。
他发现二弦琴两条琴弦的音程之比越简单,和音越和谐,2:1对应八度音,3:2对应五度音,4:3对应四度音,9:8对应二度音。反之,当比例太复杂时,听上去就很刺耳。
音乐上的发现,和谐概念的提出,直接引发了毕达哥拉斯学派的核心理念——万物皆数(世界的本源是数)。
事实上,与毕达哥拉斯同时代的佛陀、老子也有类似观点。
如《道德经》所云:道生一,一生二,二生三,三生万物。表示“道”生万物,事物的变迁是一个从少到多,从简单到复杂的一个过程。这是老子对伏曦八卦和《易经》的总结,太极生两仪,谓阴阳。与毕达哥拉斯学派认为奇数是阳性的,偶数是阴性的,颇有异曲同工之感,许多学者困惑于古代东方数学如何较大程度的影响了古希腊数学,这也许是个线索。
学派对数有这样的认识:1是万数之源,代表缘由、本元和稳定;2则反之,代表不同与未知,它代表阴性;3是1与2的和,代表和谐与完美,为阳性;4代表正义,是人与自然的纽带;5是2与3的和,谓之阴阳调和、连理相偕;6代表强力非凡,是2与3的积,引起新生命的诞生;最膜拜的数是10……
他们相信数字本身是活的,与人的意识有着心灵感应,只需通过各种形式的沉思冥想,人们就可以与数进行心灵交流。
毕达哥拉斯认为,数乃神的语言,一旦掌握了数的结构,就控制了世界,世界的许多事物都是匆匆过客,唯有数是永恒的。
4
学派的湮灭
把学术的认知上升为一种信仰,毕达哥拉斯学派一度信徒云集。
学派主张一夫一妻,知识和财产是公有的(从这个角度看,许多关于毕达哥拉斯的发现,可能并非毕达哥拉斯本人,而是学派的共同发现,加上毕达哥拉斯的讲课全是口授的,更难以考证了)。
信徒们有着共同的生活方式,素食主义是成员们必须遵守的,禁食豆子(因为他们认为,豆子的外形与人类的某个器官相似,吃豆子的行为与同类相食没有区别,对于素食主义者是不合适的)……有学者甚至认为“共产主义”也在此萌芽。
然而,学派的危机也正在于此——万物皆数!
他们把数局限在有理数范畴,也就是能够表示成分数形式的数(整数比)。而信徒希帕索斯发现的根号2就无法用分数形式表示。
希帕索斯对于“根号2不是有理数”,推理方法可能是阿那克西曼德创造的归谬法,大致过程是这样的:
根号2客观存在,但在学派已有的认知下,却无法准确描述(不可公度),面对这一“荒谬”现象,大家都无计可施。
信仰的基石被颠覆了!
这是万万不可的,毕达哥拉斯学派誓死要捍卫他们的“真理和信仰”。传说年轻的数学家希帕索斯因公开了这一秘密,而被抛进了大海。
但也有学者提出:希帕索斯被扔进地中海的传说未必可信。
因为他们发现,毕达哥拉斯学派是一个充满爱心的组织。传说学派成员客死他乡,临死前他告诉旅店店主,只要在店门口挂上刻有五角星的徽标,便有人来帮助偿还住店和看病的债务。不久,果然一位学派的信徒路过此店还请了债务。
神秘的五角星代表的不仅仅是智慧,还有健康、友爱,这样的组织应该不会去杀害希帕索斯,更有可能的是,将他“逐出师门”。
伴随着影响的日益扩大,他们的存在直接威胁着统治阶级的利益,学派的湮灭也从此开始。至公元前500年前后,南意大利民主力量逼迫学派解散,毕达哥拉斯以及他的信徒惨遭杀害,尽管虔诚的信徒们还延续着学派200多年,但往日的辉煌不再。
无理数的发现而导致的“第一次数学危机”,引发了数学的大发展,古希腊人慢慢明白:“直觉和经验不一定靠得住,推理证明才是最可靠的”。
为公理化体系完善,旷世巨著《几何原本》的诞生(成书于公元前300年前后),奠定了坚实的基础。
“神秘教主”毕达哥拉斯的故事,似乎在告诉人们:在数学的世界里,无理即未知,未知即未来!
—— END ——
关于泰勒斯、毕达哥拉斯以及毕达哥拉斯学派,史上至今鲜有直接证据,文章及视频提及的许多观点也值得进一步推敲,特把完成此文的主要参考文献列举如下:
[1][美]霍华德·伊夫斯(Howard Eves).数学史概论[M].哈尔滨工业大学出版社,2009:73-84.
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[3]汪晓勤.HPM:数学史与数学教育[M].科学出版社,2017:69.
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[6][英]Tony Crilly.你不可不知的50个数学知识[M].人民邮电出版社,2010:38-39.
[7]蔡天新.数学简史[M].中信出版集团,2017:34-38.
[8][英]布赖恩·克莱格.数学世界的探奇之旅[M].中信出版集团,2017:36-39.
来源:包彦禹老师
编辑:Norma