arctanx的函数图像，你知道怎么画出来吗？
老黄知识共享2021-08-29 18:17
作反正切函数y=arctanx的图像基本上有三种方法，第一种是最原始的方法：描点法，这样只能作出函数图像的大概形状，并不准确；第二种是根据反函数与原函数的图像关系，根据正切函数的图像画出反正切函数的图像，这种方法作出来的图像比较准确；还有最后一种方法是运用函数的性质，画出图像，这种方法更能触碰到函数的实质。
不论用哪一种方法，我们都要先明确，反正切函数的值域在(-π/2,π/2)，只是对应正切函数的相同周期，而不是对应所有的周期，这是由单值函数的唯一性决定的。
首先是描点法，可以先列一个表格，列出几个常用反正切函数的自变量x，或者正切函数值，再写出它们的反正切函数值y. 如下表：
然后建立平面直角坐标系，将把上面各点描在坐标系中，然后用平滑的曲线连接起来就可以了，如图1：
图1如果利用互为反函数的两个函数图像关系y=x对称，就要先明确正切函数在(-π/2,π/2)上的函数图像，其实也是用描点法作出来的。不过正切函数y=tanx的图像毕竟是我们比较熟悉，显然与它关于y=x对称的图像和上面用描点法作出来的图形还是有一点差别的。如图2：（图中红色曲线是反正切函数的图像，紫色曲线是正切函数的图像）
图2最后一种方法，是通过分析反正切函数的性质来确定它的图像的，做出来的图像虽然并不一定特别准确，但它能让我们更全面地理解这个函数。
首先，反正切函数y=arctanx的定义域是R，值域是(-π/2,π/2)。其它，它是一个奇函数，所以f(0)=0, 即图像过原点，且关于原点中心对称。
其次让arctanx的导数等于1/(1+x^2)>0，我们可以知道这是一个严格单调递增的函数。又arctanx的二阶导数等于-2x/(1+x^2)^2在x=0有拐点，且当x<0时，二阶导数大于0，所以函数在(-无穷大，0)上是一个凹函数；而当x>0时，二阶导数小于0，所以函数在(0,+无穷大)上是一个凸函数。
最后我们可以利用求渐近线的公式：lim(x->∞) arctanx/x =0, 且 lim(x->+∞) [y- kx] = π/2, lim(x->-∞) [y- kx] = -π/2，得到函数图像的两条水平渐近线。
利用这些性质也可以勾画出函数的图像如图3：
图3三种方法没有优劣之分，学习数学就必须全部都掌握下来。如果你有更好的画法，不妨在评论区中分享给大家，谢谢！
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