文／莫斯柯维茨（Clara Moskowitz） 影／温恩（Jessica Wynne）

即使数学不可捉摸，却依然美丽。摄影师温恩（Jessica Wynne）想试着捕捉这种吸引力，于是从2018年开始，前往世界各地去拍摄数学家的黑板。她说：「我长久以来想要跨出我的知识领域。」由于温恩不理解黑板上数学记号的意义，反而能从纯审美的层面去欣赏数学。她补充道：「这种感觉好比看着一幅抽象画，但是数学增添了更多趣味，因为在表面所见之下，还赋有重要的意义与超卓的深度，试图揭示普遍真理。」

温恩首次受到数学世界所吸引，是某年夏天前往美国麻州鳕角（Cape Cod）工作时，在附近结识了两位来度假的数学家。当她聆听他们说明自己的研究时，发现做数学和做艺术的过程有许多相似之处。温恩说：「目睹他们工作的方式，还有研究成果所展现的原创力，我真的十分讶异。」

随着温恩开始到各所大学去拜访更多数学家，她发现数学家的黑板风格真是多采多姿。她回忆道：「有些人的黑板干净有致，看得出是深思熟虑的结果；也有人疾笔乱书，毫无条理。黑板宛如个人肖像画，表现出数学家的个性。」

温恩把自己所拍摄的许多照片结集成书，书名为《不要擦掉：数学家和他们的黑板》（Do Not Erase: Mathematicians and Their Chalkboards），由普林斯顿大学出版社在今年6月出版。她打算延续这项计画，尤其因为最近的疫情限缩了原订的旅程。

温恩本来预计前往英国造访剑桥大学的数学系，直到她得知该系所的黑板已经全部由白板和数位板所取代。温恩说：「黑板的类比特性非常吸引我，我意识到很多地方已经在淘汰黑板，因此有一种记录这些成果的迫切感。」

混合高斯分布 机器学习演算法常用于分析异质性数据（例如随机女性和男性的身高），其中一项极具挑战的任务是把测量数据分解成两个或更多的成份。美国麻省理工学院的莫伊查（Ankur Moitra）和同事发现一种分离曲线的方法，只需要知道混合性数据的前六个「动差」（moment）。莫伊查说：「黑板上画的是我们论文的关键证明，结果相当于取两组不同的混合性数据相减，并说明所得的差函数最多穿越零轴六次。」

分岔的波线 美国哈佛大学的数学家威廉斯（Lauren K. Williams）解释：「波的相互作用很有趣，例如两道波相遇之后可能只形成一道波，如果它随着时间继续变化，还能看到波相互作用的不同模式。」威廉斯与俄亥俄州立大学的?玉裕二（Yuji Kodama）使用这样的图示，来研究描述波行为的卡东切夫－培威亚施维利方程（Kadomtsev-Petviashvili equation，简称KP方程）解。他们发现某一类解所对应的波型，可以用多边形的三角分割（黄线）来分类。威廉斯说：「如果稍微修改这类解的参数，这些波型会退化，形成例如黑板中间所呈现的白色『海星』图案。」?玉裕二和威廉斯把黑板左下角的另一种线图称为「围棋图」，他们用这种线图研究某类KP方程解。

行人路径 由于不容许行人路径发生重叠，所以每当两人相遇时，各自就必须决定接下来行走的路径。决定可能有偏好，例如冷色系行人可能比暖色系行人偏好往东走，而不是往北走。美国麻省理工学院的数学家鲍罗定（Alexei Borodin）说：「尽管描述简单，但它的大尺度行为却很复杂，和一些数学和物理现象紧密相关。」顶点模型可以扩充，来包含更多的行人和颜色。鲍罗定接着说：「这套系统之所以吸引我，是因为它结合了迷人的简洁、隐藏的深度，以及数学在分析问题时的有效性。」他也喜欢问题中的「美学要素」。

有序的混沌 美国普林斯顿高等研究院的贺佛（Helmut Hofer）和同事，在1999~2003年间发展了一支研究这种秩序的领域，称为辛动力学（symplectic dynamics）。贺佛的黑板上描绘的是「有限能量叶层」（白线），这工具能够描述动力系统中的混沌现象，例如在地月之间运行的卫星。这个复杂的曲面系统，和卫星与两个天体因重力发生交互作用而产生的位置及动量变化有关。贺佛希望「这项对混沌更完善的理解，最终能应用于太空任务的设计。」例如先前的做法是利用对混沌的直觉理解，研究探索太空时该如何妥善使用燃料，但代价是必须延长飞行时间。贺佛认为，他的新研究可在不延长任务时间的条件下，更进一步节省燃料。

匹配形体 拓朴学家依据曲面的洞数为曲面分类，由于咖啡杯和甜甜圈都只有一个洞，因此在不切割或穿孔的情况下，可以把它们弯折或拉伸成相同的形状，也就是说，在拓朴上两者是等同的。同理，黑板上标记「2」和标记「6」的曲面也是拓朴等同的。美国纽泽西学院的数学家亨斯顿（Nancy Hingston）说：「这些非常好玩。」她在微分几何研究的正是这些曲面上的路径性质。

共同研究 美国纽约皇后学院的数学家特里拉（John Terilla）和X射月工厂（X, the Moonshot Factory）的布莱德雷（Tai-Danae Bradley）正尝试理解自然语言中蕴藏的数学结构。特里拉说：「那时我们第一次谈到，要以某种特殊方式把这种结构形式化，我和她一起在黑板前讨论，上头是我们留下的字迹。例如这个大大的『存在（用?表示）函子F』是我写的；下面的『在[0,1]上的hom（α,β）』是她写的。」这项研究是特里拉探究主题的一部份，他想要寻找「事物背后的机制，理解它的运作原理。在阐释事情时提升抽象层次，有点像离开日常行径，爬到山上去俯瞰八方。做研究时这很有用，因为它可以在探索未知领域时显示出前进的道路。」