如何用微积分求解球体、椭球体、圆锥的体积？旋转体体积公式推导
空弦默2021-06-28 12:45
之前我们已经用微积分推导了椭圆面积公式、任意曲线长公式，今天我们将再次以微积分为工具，试着导出旋转体体积的公式。
先明确一下旋转体的定义：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体。
我们还是按照微积分一般流程，也就是先微分再积分的方法，先找到旋转体体积的微观表达式，再求和，即可得到它的体积表达式。首先，我们先任意给一个函数，如图：
如果令它绕X轴旋转一周，即可得到一个旋转体，这里的是圆。
我们先把整个函数用直线分成若干部分：
则把求整个旋转体体积的问题转化为求各个小旋转体体积的问题了，下面，我们令截取的直线为无数多条，把整个图形分成无数多个，则上图所示的每两条直线都无穷趋近，此时我们可以把图形每一部分都看成一个小长方形，且可以求出它绕坐标轴旋转一周的体积：
然后再把每一个无穷小圆柱的体积累加起来，即求积，即可得到函数绕X轴旋转一周的体积公式为：
好了，既然知道公式了，让我们先拿球体、圆锥为例，小试一把牛刀。
先说圆锥，它可以看作一次函数绕X轴所得。
我们从小学时就搞不懂的三分之一就是这么来的。
下面再看一下球和椭球的体积公式，不过因为球是椭球的一个特殊情形，我在这只给出椭球的计算方式，回来把公式中的a、b换成r即可。
把a/b换成r即得球体体积以上就是本文全部内容了，如果你还想要了解微积分，关注我哦，我会每天发表一篇关于数理的文章，更有历史、文学等等众多类型的文章，创作不易，感谢支持！
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