关于白度文库《图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式》的论文答疑

自然物质基本形态——球体数学

1球体数学知识的引入

数学知识必然与自然天体形态的球体相联系。圆面积、球面积、球体积的数学运算，是前人和现代人必须掌握的基本知识。本人在网上曾查过相关的数学公式，天涯论坛有一篇《图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式》的论文，与公知公式的计算方法不一样，结果也不一样，贴子发表于2014年。至今网上也没有谁对谁错的结论。

公知公式是由古典微积分演变而来，多年来人们在公式的实践应用中，并没有提出多大的异议。新公式提出了新的计算方法，谁对谁错要有一个实践认识。

2棱锥计算公式的实践论证

球表面积的微分与积分，应当用最基本三角形组合的四方形或多边形面积去认识。球体的微分与积分，用球面三棱锥的组合四棱锥去认识，这涉及到棱锥的计算公式。受爱迪生教中国留学生计算电灯泡体积方法的启示，做了以下论证。

2．1棱锥公式论证a：用边长23.6mm*23.6mm高为*89.6mm的不锈钢方管为容器，得到容积为49903.616立方毫米的容器，等于49.9立方厘米。棱锥体积计算公式为V=S*H/3，同时做了高为89.6mm底面为23.6mm*23.6mm的正棱锥容器，三次装满的水倒入方管容器中，多了一点点，可能是容器做的精度问题，与计算公式对错应当无关。

2.2棱锥公式论证b：用36mm*36mm*114.2mm的不锈钢方管做的容器，得体积为148003.2立方毫米的容器，等于148/立方厘米的容积。同时制做的正棱锥底为36mm*36mm*高为114.2mm，装满水倒入方形容器中三次，容器正好满了，用电子称称得方管容积的水重为148.2，数学公式是对的。(圆锥的体积公式也做过论证，公式与实际相符)

2.3球面底的棱锥公式论证：球体微分后的形态与棱锥体积有点区别，它应当是球面底的棱锥形，体积比棱锥略为多一些。棱锥体积计算公式：V=3.6cm*3.6cm*11.42cm/3=49.3344cm3。球面底棱锥试验如下：容器重73.1克，加水总重125.4克，125.4克-73.1克=52.3克，49.3344/52.3=0.943296367，对棱锥公式的调整S*H/（3*0943296367） =S*H/2.83，得出球面底棱锥形计算公式V=S*H/2.83，此结果的常数为35%左右，球面底棱锥体积公式应当是V=S*H/2.83，比正棱锥公式的33.33%多了1.7个百分点左右。

3球体积实践论证:

A试验：为了验证球的体积公式，在市场先后买了二个球。一个是装璜的不锈钢空心球，直径117.1mm——117.9mm平均直径117.5mm，误差比较大。2019年9月21日的水容积试验，得到了水容积865ml，9月27日第二次试验得到的水容积是870ml，公知公式体积计算V=4πR3/3=4π*58.753=849399.9325mm3=849.3999325 cm3，新公式体积V=π2*R3/2=π2*58.7533/2=1000829.023 mm3=1000.829023 cm3，公知公式比较接近试验结果，新公式误差较大。

B试验：2019年9月23日试验，工具：1、电子称：HXD衡新电子厨房称。2、电子数显卡尺：SF2000，分辩率为0.01毫米。桂林广陆数字测控有限公司生产。3、高度尺：量具误差0.02毫米，上海恒量量具公司生产。4、钢球：邢台耐特斯轴承销售公司生产。用卡尺和高度尺综合测量，直径在76.7mm——76.9mm变化，误差不太大，取平均值76.8mm。5、烧杯500ML，水的体积比重是1：1，等于500克水容积。试验情况如下：烧杯自重175.2克，加水至378克后放入球，水至450ML处，把球取出后加水至450ML处，得重量625克。625克-378克=247克重，即体积为247ML。当时的室内温度为28度，水的温度与体积比值系数为0.998623，体积V=247/0.998623=247.34ML。公知公式计算结果如下：V=4πR3/3=4π*（7.68/2）3=237.1823034。新公式计算结果如下：V=π2*R3/2=π2*38.43=279.4238182cm3。结论：同样是公知公式误差小，新公式误差大 。 4球表面积几何微积分推导：

4.1球表面积分解：对球体积计算公式有了方向性的认识后，就是球表面积的验证工作了。随着计算机制图软件的应用，在电脑上对不规则表面图形做几何微积分，已经比较轻松简单。用CAD制图软件，对直径76.8mm的球体表面做几何分解，球周角做成20等分，展开的180单叶面积和20个叶片形态见图2。由图2等分的单叶形态，并不是新公式图解所说的等腰三角形。这个三角形态是由弧边构成，是个镜像对称的荷莲花瓣形态。（本人曾用新公式的图解方法做过等腰三角形纸片，拼贴的球表面不能包全，球表面积少算了。）用这个方法对球体做均衡的角度分割后，在一个分割叶片做展开。用圆周率计算出它在不同圆周位置的叶片宽度，不同位置的宽度确定后，用描点法联接，就形成了被分解的单个球表面积图形，计算过程见表1。由CAD制作的图形，在佳能2900激光打印机上1：1打印，剪出20个图形贴在圆球上，能够比较准确的包住球的表面。 图3为球体贴纸的实物照片

表1： 球面积分割图形的宽度及高度计算表格

4.2球表面积微分累计推导：球表面积几何微积分方法，由1mm2基本单元组合的方格群完成，20等分的球面积叶片在方格群中做局部微分的累加，不规则的边沿二边合数取1个方格数，单元合数乘单个面积,S=84+209+81+56+35+15+5.2=482.5。单叶面积= 482.5*2=965，球面积=单叶面积*20=965*20=19408mm2的球表面积。 公知公式面积计算：S=4π38.42=18529.8645mm2 ，二个面积误差比值= 19408mm2/18529.8645mm2 =1.047390282，不到5%的误差 。新公式面积计算：S=π2R2=π238.42=14553.32387mm2，19408mm2/14553.32387mm2=1.3336，新公式面积误差少了30%以上。新公式面积误差大的原因是少算了曲面部分。小结：公知公式是前人用微积分推导而来,可以追溯到阿基米德时代和三维欧氏空间积分。前人在公式归纳上，能把计算精度达到百分数上，是很了不起的贡献。新公式敢于向公知公式发起挑战也没有错,因为公知公式是有误差的，只是自己提出的公式误差更大。二个公式都想保留，让后人在处理球体数学问题时多一些方法。

5:新公式参数调整

5.1新公式面积调整 ：几何微积分累计的面积与新公式计算出的面积比为19408/14553.32387=1.333578513,取1.3336，新公式面积计算公式S=π2*R2调整为S=1.3336π2R2。

新公式的体积调整 ：体积V由此推导，1.3336π2R3= 1.3336π2*38.43=745.2793 cm3，实测体积为247.34 cm3，由247.34/745.279208=0.331875621，1.3336*0.331875621=0.442589328，新公式的体积V=0.442589328π2R3。建议新公式体积V= 0.4426*π2*R3 6公知公式精度升级:公知公式面积与几何微积分面积的比值结果=1.047390282，公知公式调整，S=1.047390282*4πR2=4.189561128* π*R2 ，公知公式体积计算V公=4.18956*π*R3/3=1.39652π*R3，与实际测量体积的比值=248.4223728/247.34=1.004376052,是个千分数的误差，都接近实际，谁更精确不做结论，公知公式常数在1.390435383与实测接近，调整后的公知公式体积算式：V公=（1.39652～1.390435383）πR31.3 93πR3。球体积公知公式，就是球表面积乘以1/3R的推论，应当是有误差的。

7:球直径与面积、立方体积的关系：球表面积与直径立方体表面积的关系，由球的表面积与直径立方体的比值求出。S立=球直径*球直径*6=7.68*7.68*6=353.8944。S球/S立的面积比值=194.08/353.8944=0.548412181，S球=0.5484*S立。

球直径与直径立方体积的关系，由直径立方体积与球的实际立方体积的比值得出：247.34/7.683=247.34/452.984832=0.546022698，球体积V=球直径*球直径*球直径*0.546022698=0.546022698D3=0.546*D3 。 以上对球体数学的试验论证 ，供学者和相关部门参考。