求解∫sin^n(x)dx的不定积分
电子通信和数学2021-05-26 21:26
让我们考虑正弦函数的n次幂sin ^n（x）的积分，其中n= 1、2、3，……（自然数）。由于sin是x的函数，我们不能简单地使用标准的“幂”公式，
那么我们如何解决下面的问题呢？
在实数函数的世界中，实际上只有两种计算积分的方法：
1.换元积分法
2.分部积分法
我们将用分部积分来解决这个问题。
为了做到这一点，我们需要将被积函数sin^n(x)分解成两部分。我们可以写成：
我们对上式的两边进行积分
现在，如果你还记得分部积分的公式，我们就可以得到如下结论
为了得到du和v，我们需要对u求导，对dv积分。因此，首先对u应用链式法则得到du/dx:
对dv积分得到
现在我们得到了所有组成部分，让我们应用分部积分公式：
现在，对于右边的第二个积分，被积函数包含一个cos项。我们可以用勾股定理把这个积分改写如下形式
现在，把上述结论放到我们要解决的积分公式中，我们就有
我们可以把右边的第二个积分移到左边来解决这个问题。
最后，两边同时除以n
这就是sin函数n次幂积分的简化公式。现在，虽然这个公式适用于任何整数n大于或等于1(即自然数)的值，但它最好用于大于3的幂。
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