要说这世上最难的东西/事,除了我不能一夜成百万富翁之外,应当还有物理和数学。有网友说得好,别人的青春疼痛是爱情,我的青春疼痛文学是数学。
能在理科方面玩得开的都是大神,这领域的奇妙之处和未解之谜可太多了,比如一直很流行的、还被做出了实体模型的克莱因瓶。
看过有人在网上买克莱因瓶去做测试,费了老大的劲往里面倒水,最后终于将瓶子灌满,然后说克莱因瓶可以被装满。
为什么做这个测试?因为关于克莱因瓶,有个说法,说它是一个永远也装不满的瓶子,就算把整个大海的水都倒进去也不会满。听着还挺离谱,像魔法一样,不过,这实际上是一个正经的数学领域的问题。
克莱因瓶的概念是德国数学家菲利克斯·克莱因在1882年之后提出的,不提那些深奥晦涩的名词解释,我们来重点提炼一下这个瓶子的要点:没有内部和外部之分,四维空间。
没有内外之分这是什么东西,怎么想象?一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面,这就是没有内外之分。
其实这确实很难想象,因为它还有个最重要的信息——四维空间,这就意味着我们永远无法把克莱因瓶做出来。因为人类所处的是三维空间,我们能感受到比我们更低的维度,但却想象不了更高等级的四维空间,甚至根本无法想象。
我们这样想,零维是一个点,一维是由无数个点组成的线,它只有长度,没有宽度和高度;二维是个面,有长度和宽度,没有高度;三维是无数的面组成的体,有长宽高(是不是突然有点梦回数学课堂的感觉)。
人类是生活在四维里的三维生物,对于低维空间很容易理解,但要想窥探四维和更高的空间,只能靠想象。
我们简单地理解一下,将纸上的一个图画看作是二维,面前的你代表三维,你能看到这个二维并且将它映射到现实中,假使图上是一座平面的房子,你甚至还能想象到它在三维中的立体样子。
而反过来,假使图上是一个纸片人,他是不能看到也想象不了三维的你的样子的,因为他能看到的只是一维切面,一条线,他有两条腿,却是线状的,且处于同一条直线上,他无法进入三维世界。
说到这里,或许你会想起一个词,特别流行的“降维打击”。刘慈欣在《三体》里创造出了这么一个攻击方式,小说里面,外星人使用“二向箔”将太阳系由三维空间降至二维空间,以此进行摧毁。这是一个高维文明对低维文明的打击,反过来看,低维若要向高维进行打击是不可能的。
之所以提到四维空间,是因为克莱因瓶理念上来说是四维空间的东西,在三维空间造不出四维空间的东西,所以我们说,这世界上没有克莱因瓶。
而网上出现的那些所谓的克莱因瓶,其实是高仿品,并不是严格理论上的克莱因瓶,而是将就做出来的。克莱因瓶的瓶颈是从我们无法看到的第四维空间连接到瓶底的,三维中无法做到,所以只能从瓶身开个洞,让瓶颈与瓶壁相交,而理论上克莱因瓶的瓶颈和瓶壁是不相交的。
想更多地了解克莱因瓶,还要再认识认识莫比乌斯带,这个也挺熟悉的吧,一个看起来平平无奇地扭曲的纸带圈。
一般普通的纸带有两个面,正面和反面,而莫比乌斯带只有一个面,设想一只蜘蛛沿着莫比乌斯带爬遍了整个曲面,却不用跨过带的边缘,这就是它的‘魔力’之处,它是一个二维物体,却在三维空间中扩展成一个空间模型。
莫比乌斯带已经挺神奇的了,但依旧有人觉得它不完美,菲利克斯·克莱因就琢磨着,莫比乌斯带有一条非常明显的边界,能不能将这条边界去掉呢?所以,他找到了这样一个封闭的没有边界的瓶子——克莱因瓶。
所以简单理解克莱因瓶,可以拿莫比乌斯带来想象。把两条莫比乌斯带沿着它们唯一的边缝合起来,就得到了一个克莱因瓶;也就是说,把克莱因瓶适当地剪开,可以得到两条莫比乌斯带。
不要因为这样说就觉得可以在现实中把两条莫比乌斯带合在一起做出克莱因瓶,它们俩都是不可定向的,但是克莱因瓶没有边界,莫比乌斯带可以嵌入到三维空间,而克莱因瓶只能嵌入到四维或更高维空间。
我们把刚才在莫比乌斯带上爬行的蜘蛛放在一颗球上面,球有外面和里面之分,只要球没有破开一个洞,蜘蛛就爬不到里面去;再把蜘蛛放到克莱因瓶上,因为克莱因瓶没有里外之分,所以蜘蛛既是里面爬,也是在外面爬。
克莱因瓶的表面没有边,没有人去过四维空间,所以只能通过类比来想象,克莱因瓶的瓶颈穿过了第四维度和瓶底连接起来,没有经过瓶壁。
这确实挺难理解的,但难理解就对了,四维空间的事,我们本就想象不到。所以克莱因瓶的曲面只能在四维空间显示出来,如果要在三维空间里表现它,就只好把它做成相交的样子,也就是瓶颈和瓶壁相交,即市面上我们能看到的克莱因瓶。
其实说真的,数学物理虽然深奥难懂,但真的有很多有趣的话题和大胆的猜想,它们是了解世界、宇宙的基础。要是有时候看不下去那些枯燥的数字,就可以从这样一个个有趣的论题看起,再延伸出去了解,那时候或许你会发现,数学物理也有让人着迷的地方(但是再怎么样我也不想再经历学数学物理的痛苦)。
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