小乐数学科普:新量子算法终于破解非线性方程——译自量子杂志

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发布时间: 01-0609:22

作者:麦克斯·列维(Max G. Levy) 2021-1-5

译者:zzllrr小乐 2021-1-6

有时,计算机很容易预测未来。简单的现象(例如树汁如何流到树干上)很简单,可以使用数学家称之为线性微分方程的几行代码来捕获。但是在非线性系统中,相互作用会影响自身:当气流经过喷气机的机翼时,气流会改变分子相互作用,从而改变气流,依此类推。这种反馈循环会造成混沌,在初始条件下的微小变化会导致后来的行为发生巨大变化,从而使预测几乎不可能—不管计算机的功能如何。

马里兰大学量子信息研究员安德鲁柴尔德斯(Andrew Childs)说:“这就是为什么难以预测天气或难以理解复杂的流体流动的原因之一。” “如果可以[弄清楚]这些非线性动力学,则可以解决一些棘手的计算问题。”

这可能很快就会实现。在11月发布的单独研究中,有两个小组(其中一个小组由Childs领导,另一个小组位于麻省理工学院)描述了功能强大的工具,这些工具可以使量子计算机更好地对非线性动力学进行建模。

抽象在科学和数学中引导着有前途的想法。

量子计算机利用量子现象比传统计算机更有效地执行某些计算。由于具有这些功能,与传统机器相比,它们可以指数方式快速地解决复杂的线性微分方程式。长期以来,研究人员一直希望他们可以通过巧妙的量子算法来解决非线性问题。

新方法将非线性伪装成作为更易处理的线性近似集,尽管它们的精确方法差异很大。结果,研究人员现在有两种使用量子计算机解决非线性问题的独立方法。

悉尼科技大学量子计算研究员Mária Kieferová说:“这两篇论文的有趣之处在于,他们找到了一种机制,在某些假设下,它们拥有高效的算法。” 。“这真的很令人兴奋,[两项研究]都使用了非常好的技巧。”

混沌的代价

量子信息研究人员十多年来一直尝试使用线性方程式作为解锁非线性微分方程式的关键。一个突破是在2010年,当时位于悉尼麦考瑞大学(Macquarie University)的多米尼克·贝里(Dominic Berry)建立了第一个算法,用于在量子计算机上而不是传统计算机上以指数方式更快地求解线性微分方程。很快,贝瑞的工作重点也转移到了非线性微分方程上。

贝里说:“我们之前已经做过一些工作。” “但是效率非常低下。”

John T. Consoli /马里兰大学

马里兰大学的安德鲁·柴尔德斯(Andrew Childs)带领两项工作之一,使量子计算机能够更好地对非线性动力学建模。他的团队的算法使用称为Carleman线性化的技术将这些混沌系统变成了一系列更易于理解的线性方程组。

问题是,量子计算机所基于的物理学本质上是线性的。MIT研究的合著者Bobak Kiani说:“这就像教汽车要飞行一样。”

因此,诀窍是找到一种将数学上的非线性系统转化为线性系统的方法。Childs说:“我们希望拥有一些线性系统,因为这就是我们的工具箱所具有的功能。” 各小组以两种不同方式做到了这一点。

Childs的团队使用了1930年代的一种过时的数学技术:Carleman线性化,将非线性问题转换为线性方程组。

不幸的是,该方程列表是无限的。研究人员必须弄清楚他们可以从哪里删除清单,以获得足够好的近似值。“我停在10号方程吗?20号?” 麻省理工学院的等离子体物理学家,马里兰研究的合著者努诺·洛雷罗(Nuno Loureiro)说。该团队证明,对于特定范围的非线性,他们的方法可以截断该无限列表并求解方程。

麻省理工学院领导的论文采用了不同的方法。它将任何非线性问题建模为玻色-爱因斯坦冷凝物。这是一种物质状态,其中超冷粒子组中的相互作用导致每个单独的粒子行为相同。由于粒子都是相互连接的,因此每个粒子的行为都会影响其余的粒子,并以非线性的环路特性反馈到该粒子。

MIT算法使用玻色-爱因斯坦数学方法将非线性和线性联系起来,从而在量子计算机上模拟了这种非线性现象。因此,通过想象为每个非线性问题量身定制的伪玻色-爱因斯坦冷凝物,该算法得出了有用的线性逼近。“给我你最喜欢的非线性微分方程,然后为你建立一个可以模拟它的玻色-爱因斯坦冷凝物,”汉诺威莱布尼兹大学量子信息科学家托比亚斯·奥斯本说,他没有参与任何一项研究。“这是我真正喜欢的一个想法。”

美国国家标准技术研究所

由MIT领导的团队的算法将任何非线性问题建模为玻色-爱因斯坦冷凝物,这是一种奇特的物质状态,其中相互连接的粒子的行为均相同。

Berry认为这两篇不同的方式论文都很重要(他没有参与其中的任何一篇)。他说:“但最终,它们的重要性表明,有可能利用[这些方法]获得非线性行为。”

知道自己的极限

尽管这些步骤很重要,但它们仍然是破解非线性系统的第一步。甚至在实现这些方法所需的硬件成为现实之前,更多的研究人员可能会分析和完善每种方法。Kieferová说:“有了这两种算法,我们真的在展望未来。” 使用它们来解决实际的非线性问题,需要具有数千个量子比特的量子计算机来最大程度地减少误差和噪声,而这远远超出了当今的可能性。

而且这两种算法实际上只能处理轻微的非线性问题。马里兰州的研究准确地量化了使用新参数R可以处理多少非线性,R代表问题的非线性与其线性的比率:趋于混沌的趋势 VS 将系统保持在轨道上的摩擦力。

“在数学上很严格。奥斯本说:“它什么时候可以用,什么时候不可以用。” “我认为这确实非常有趣。这就是核心贡献。”

根据Kiani的说法,由MIT领导的研究并未严格证明任何定理来限制其算法。但是该小组计划通过在量子计算机上运行小规模测试来进一步了解算法的极限,然后再处理更具挑战性的问题。

两种技术最重要的警告是,量子解决方案从根本上不同于经典解决方案。量子状态对应的是概率,而不是绝对值,因此,例如,你无需提取喷气机机身各个部分周围的气流,而是提取平均速度或检测停滞的空气。Kiani说:“输出是量子力学的,这一事实意味着,之后仍然需要做很多工作来分析这种状态。”

奥斯本说,至关重要的是不要过度承诺量子计算机可以做什么。但是研究人员势必在未来五到十年内,针对实际问题测试许多成功的量子算法。他说:“我们将尝试各种事情。” “而且,如果我们考虑到极限,那可能会限制我们的创造力。”

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