高中数学，f(x)=sinx+sinπx周期函数？方法很重要，固定模板秒解
玉w头说教育2020-11-07 11:47
原题
原题：已知函数f(x)=sinx+sinπx，下列结论正确的是？
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是周期函数
C.f(x)在区间(0,π)上有三个零点
D.f(x)的最大值为2
图一该题除了选项A，都是比较有难度的，这是一个不易判断的题。
之所以该题比较难判断是因为题中给出的函数f(x)是两个同名不同角且角的倍数是π倍关系，而我们之前做过这样的题，即使是不同角，该角度也是一个整数倍。
那这样的函数到底有没有周期呢？
很多同学乍一看，觉得应该是有的，实际没有。
因为对于任何的正弦三角函数y=sinx都是可以变成y=sin(x+2π)的，而无论x取何时的时候，都可以将其看成一个锐角的形式，根据三角函数恒等变形都是可以加上或者减去2π或者2π的整数倍的单位的，即y=sinπx=sin(πx+2π)。
所以很多同学就会将f(x)=sinx+sinπx直接写成是f(x+2π)=sin(x+2π)+sin(πx+2π)=f(x)，从而得出错误的结论，认为有周期。
那这样的解法，错在哪了？
这样的解法错误就在f(x+2π)≠sin(x+2π)+sin(πx+2π)，而f(x+2π)=sin(x+2π)+sin(πx+2π^2)——没有将x+2π完全的替换x，即sinπx中的x替换x+2π后是sinπ(x+2π)，而不是sin(πx+2π)。
所以上述将解法并不能说明函数f(x)是周期函数。
那该怎么判断呢？
下面就讲解题的过程中仔细说明。
选项A
选项A是判断函数是不是奇函数。
像这样的题，首先要判断该函数的定义域是不是关于原点对称，然后再判断其他——这也是大家容易出错的地方，不是你不会，而是会了得不到分。
当该函数关于原点对称后，判断函数f(x)和f(－x)的关系即可。
所以我们直接令 x=－x代入函数f(x)当中，则有f(－x)=sin(－x)+sin(－πx)=－(sinx+sinπx)=－f(x)。
所以函数f(x)满足定义域对称，满足f(－x)=－f(x)，所以函数f(x)是奇函数。
选项B
选项B是需要判断该函数f(x)是不是周期函数。
这样的题该怎么判断呢？
这样的题需要各自得出函数y=sinx和y=sinπx的周期的集合，看着这两个集合是否存在着交集，如果存在即有周期，如果不存在，则没有周期。
具体步骤如下：
第一步，得出函数y=sinx的周期的集合。
设函数y=sinx的周期为T1，根据三角函数周期公式T1=2kπ/ω，k∈Z，ω=1，则T1的集合为{T1|T1=2kπ,k∈Z}。
第二步，得出函数y=sinπx的周期的集合。
设函数y=sinπx的周期为T2，根据三角函数周期公式T2=2nπ/ω，n∈Z，ω=π，则T2的集合为{T2|T2=2n,n∈Z}。
第三步，将两个集合取交集。
{T1|T1=2kπ,k∈Z}∩{T2|T2=2n,n∈Z}=，因为T1的集合中，无论k取何整数时，都是π的整数倍，而π是一个不尽的小数，所以最后的结果是小数，而T2的集合中，无论n取何整数时，都是整数。
所以这两个集合不存在交集，即为空集。
综上所述，该函数f(x)不是周期函数。
这里我们也得出这样的一个结论：当我们遇到一个函数由两个同名三角函数相加，且不同角的函数，如果不同角是整数倍，则这个函数是周期函数，如果不同角不是整数倍可能没有周期。
选项C
选项C是需要判断函数f(x)在区间(0,π)是否存在三个零点。
像这样的题需要将x通过方程f(x)=0表示出来，根据正弦函数给出的范围(0,π)通过试值k的方法看满足k的个数进行判断x解的个数。
该题型也存在着固定的解题模板。
模板如下：
第一步，将x表示出来。
因为是求函数f(x)的零点个数，即求f(x)=0解的个数。
则有sinx+sinπx=0，变形得到sinπx=－sinx=sin(－x)。
图二根据正弦函数的性质sin(－x)=sin(－x+2kπ)，sin(－x)=sin(x+π)，则πx=－x+2kπ，k1∈Z或者πx=x+2kπ+π。
整理得到，x=2kπ/(π+1)，x=(2k+1)π/(π－1)。
第二步，取k值使x在区间(0,π)上。
当k=0时，x=0不属于区间(0,π)，x=π/(π－1)=1+1/((π－1)属于(0,π)，所以当k=0时，存在一个零点；
当k=1时，x=2π/(π+1)=2－2/(π+1)属于区间(0,π)，x=3π/(π－1)=3+3/(π－1)不属于区间(0,π)，所以当k=1时，存在一个零点；
当k=2时，x=4π/(π+1)，因为4π/(π+1)－π=（3π－π^2）/(π+1)<0，所以4π/(π+1)<π，所以此时x=4π/(π+1)属于区间(0,π)，所以此时当k=2时，存在一个零点。
图三综上所述，函数f(x)在区间(0,π)上存在三个零点。
选项D
选项D是需要判断函数f(x)的最大值是不是2.
该题就是需要判断函数y=sinx和函数y=sinπx取最大值时各自x的解集是存在交集，如果存在，则f(x)最大值为2，如果不存在，则f(x)最大值不为2.
第一步，得出函数y=sinx取最大值的解集。
当sinx=1时，则x=2kπ+π/2,k∈Z，所以此时x的解集为{x|x=2kπ+π/2,k∈Z}；
当sinπx=1时，则x=2k+1/2,k∈Z，所以此时x的解集为{x|x=2k+1/2,k∈Z}。
第二步，将这两个解集取交集。
{x|x=2kπ+π/2,k∈Z}∩{x|x=2k+1/2,k∈Z}=.
因为解集{x|x=2kπ+π/2,k∈Z}中无论x取何值时，x都是π的倍数，而解集{x|x=2k+1/2,k∈Z}中无论x取何值时，x不是π的倍数，所以此时这两个集合为.
综上所述，无论k取何值时，函数y=sinx和函数y=sinπx不能同时取到最大值，所以函数f(x)的最大值不为2.
总结
上述选项BD实际都是使用了一种方法，都是将函数f(x)分成两个函数的形式，分别求出这两个函数的周期和最大值时的解集，如果这两个函数的两个周期解集或者两个最大值的解集存在交集，就证明该函数能够同时取到一个周期或者同时取到最大值。
所以在以后出现这样的函数f(x)，即同名不同角的三角函数的题时，我们都可以采用相同的办法来解决。
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