理解上确界sup和下确界inf
读研大妈2020-05-28 12:17
1、上确界是一个集合的最小上界。若数集E为实数集R的子集有上界，则显然它有无穷多个上界，而其中最小的一个上界称为上确界。
设E为实数的有界集合. 若
(1) 每一个 x ∈E 满足不等式 x ≤M;（是上界）
(2) 对于任何的 ε> 0, 存在有x''∈E, 使 x'' > M -ε。（小一点就不再是上界）
则数 M = sup E 称为集合E的上确界。
若集合E上方无界，则通认为 sup E = +∞
上界和上确界的区别：上界和上确界都不一定存在，如果都存在，上界不一定唯一，但上确界一定唯一。
2、下确界指的是一个集合的最大下界。若数集E为实数集R的子集有下界，则显然它有无穷多个下界，而其中最大的一个下界称为下确界。
(1) 每一个 x ∈E 满足不等式 x≥m;（是下界）
(2) 对于任何的 ε> 0, 存在有x'∈E, 使 x' < m+ε。（大一点就不再是下界）
则数 m = inf E 称为集合E下确界.
若集合E下方无界则通常说 inf E = -∞
下界和下确界的区别：下界和下确界都不一定存在，如果都存在，下界不一定唯一，但下确界一定唯一。
例子1：inf{1,2,3,4}=1；sup{1,2,3,4}=4。注：如果一个集合有最小（大）元素，则下（上）确界等于这个最小（大）元素，且这个下（上）确界属于这个集合。
例子2：inf{x∈R，0<x<1}=0; sup{x∈R，0<x<1}=1。注：inf或sup可能不在集合中。
由上下确界引出一个十分重要的定理：确界原理，这是实数连续性的一种表现形式。
确界定理：非空有上界的集合必有上确界，非空有下界的集合必有下确界。
举报/反馈
0
0
收藏
分享
