月球、太阳对地球的潮汐影响
经典力学0072020-04-11 21:22
摘要
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文章计算了月球和太阳对地球表面潮汐力大小及广阔海域的潮汐高度，得出月球引起的潮汐力在赤道附近最明显，最大潮汐高度为0.598m，但实际因地球非完全刚性和地形原因会更高。
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有用
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本文主要是计算月球和太阳对地球表面的潮汐力的大小，以及广阔海域的潮汐高度。
前提条件：
1、地球本身是完全刚性的球
2、海水的分子间作用力忽略，不考虑液体张力
3、月球、太阳看成质点
4、非相对论
01月球对地球的潮汐力
如下图，一个单位质量的物体在地球表面的P点，P到月球的距离为L，地球中心为O，半径为R，质量为M，地月中心距为r，PO与r的夹角为θ，月球质量为m，则（月球看成质点）
月球在P点产生的引力势为：
由几何关系可知：
于是得
只需要把后面展开即可，这里根据一个简单的展开公式
代入，得
由于地月之间的中心距r远大于地球半径R，则(R/r)很小，可以略去(R/r)的三阶和高阶小量，得
于是
P点单位质量受到的径向力为
第一项类似于
其含义是整个地球受到月球的引力在地球半径R上的分量，是地球上所有物质都受到的一个力，不是潮汐力。
于是潮汐力只能是第二项。因此，地球表面单位质量物体所受到的潮汐力为
从公式中可以得出下列结论：
1、由于地球的自转、月球的公转，潮汐力会按周期性变化。
2、月球引起的潮汐力在赤道附近最为明显。
3、赤道附近的潮汐力变化范围最大，越往两极走，变化范围越小。
4、在南北极点月球的潮汐力按月周期变化，太阳的潮汐力按年周期性变化。
潮汐力方向
可以看出，θ=0或π时，对应的潮汐力最大。此时，月球在头顶，或者脚下
02地球的潮汐高度公式
继续考虑月球对地球的潮汐力作用，如果在赤道附近的广阔海面上，由于潮汐力作用使海面升高了h，那么地球的引力在h上的高度减小的量必须刚好等于潮汐力，则
或者
化简得
月球引力下潮汐高度为
（其中，m月球质量，M地球质量，R地球半径，r地月中心距）
同理可求得，赤道附近的广阔海面，
太阳引力下潮汐高度为
（最大高度）
03潮汐高度具体值
根据百科数据（2020年数据）
地球质量为5.965×1024kg
地球半径为6378.137km
月球质量为7.349×1022kg
月球公转半径为363300km~405493km
太阳质量为1.9291×1030kg
地球公转半径为147098074km~152097701km
根据上述数据代入公式，可得
月球引力的潮汐高度为
近地点h=0.425m
远地点h=0.305m
太阳引力的潮汐高度为
近日点H=0.173m
远日点H=0.145m
容易看出，太阳的潮汐约等于月球的潮汐的一半。所以，地球上潮汐受月球和太阳共同影响。在赤道附近广阔海域上，产生的最大潮汐高度为
Hmax=0.598m
这个理论高度稍微低了点，因为地球并不是完全的刚性的。在沿海或者入海口由于地形的原因，海水汇聚造成的潮汐高度比这数字高几十倍。
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