作者 | 小灰
来源 | 程序员小灰(ID:chengxuyuanxiaohui)
————— 第二天 —————
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概念1:什么是路径?
在一棵树中,从一个结点到另一个结点所经过的所有结点,被我们称为两个结点之间的路径。
上面的二叉树当中,从根结点A到叶子结点H的路径,就是A,B,D,H。
概念2:什么是路径长度?
在一棵树中,从一个结点到另一个结点所经过的“边”的数量,被我们称为两个结点之间的路径长度。
仍然用刚才的二叉树举例子,从根结点A到叶子结点H,共经过了3条边,因此路径长度是3。
概念3:什么是结点的带权路径长度?
树的每一个结点,都可以拥有自己的“权重”(Weight),权重在不同的算法当中可以起到不同的作用。
结点的带权路径长度,是指树的根结点到该结点的路径长度,和该结点权重的乘积。
假设结点H的权重是3,从根结点到结点H的路径长度也是3,因此结点H的带权路径长度是 3 X 3 = 9。
概念4:什么是树的带权路径长度?
在一棵树中,所有叶子结点的带权路径长度之和,被称为树的带权路径长度,也被简称为WPL。
仍然以这颗二叉树为例,树的路径长度是 3X3 + 6X3 + 1X2 + 4X2 + 8X2 = 53。
哈夫曼树是由麻省理工学院的哈夫曼博士于1952年发明,这到底是一颗什么样的树呢?
刚才我们学习了树的带权路径长度(WPL),而哈夫曼树(Huffman Tree)是在叶子结点和权重确定的情况下,带权路径长度最小的二叉树,也被称为最优二叉树。
举个例子,给定权重分别为1,3,4,6,8的叶子结点,我们应当构建怎样的二叉树,才能保证其带权路径长度最小?
原则上,我们应该让权重小的叶子结点远离树根,权重大的叶子结点靠近树根。
下图左侧的这棵树就是一颗哈夫曼树,它的WPL是46,小于之前例子当中的53:
需要注意的是,同样叶子结点所构成的哈夫曼树可能不止一颗,下面这几棵树都是哈夫曼树:
假设有6个叶子结点,权重依次是2,3,7,9,18,25,如何构建一颗哈夫曼树,也就是带权路径长度最小的树呢?
第一步:构建森林
我们把每一个叶子结点,都当做树一颗独立的树(只有根结点的树),这样就形成了一个森林:
在上图当中,右侧是叶子结点的森林,左侧是一个辅助队列,按照权值从小到大存储了所有叶子结点。至于辅助队列的作用,我们后续将会看到。
第二步:选择当前权值最小的两个结点,生成新的父结点
借助辅助队列,我们可以找到权值最小的结点2和3,并根据这两个结点生成一个新的父结点,父节点的权值是这两个结点权值之和:
第三步:从队列中移除上一步选择的两个最小结点,把新的父节点加入队列
也就是从队列中删除2和3,插入5,并且仍然保持队列的升序:
第四步:选择当前权值最小的两个结点,生成新的父结点。
这是对第二步的重复操作。当前队列中权值最小的结点是5和7,生成新的父结点权值是5+7=12:
第五步:从队列中移除上一步选择的两个最小结点,把新的父节点加入队列。
这是对第三步的重复操作,也就是从队列中删除5和7,插入12,并且仍然保持队列的升序:
第六步:选择当前权值最小的两个结点,生成新的父结点。
这是对第二步的重复操作。当前队列中权值最小的结点是9和12,生成新的父结点权值是9+12=21:
第七步:从队列中移除上一步选择的两个最小结点,把新的父节点加入队列。
这是对第三步的重复操作,也就是从队列中删除9和12,插入21,并且仍然保持队列的升序:
第八步:选择当前权值最小的两个结点,生成新的父结点。
这是对第二步的重复操作。当前队列中权值最小的结点是18和21,生成新的父结点权值是18+21=39:
第九步:从队列中移除上一步选择的两个最小结点,把新的父节点加入队列。
这是对第三步的重复操作,也就是从队列中删除18和21,插入39,并且仍然保持队列的升序:
第十步:选择当前权值最小的两个结点,生成新的父结点。
这是对第二步的重复操作。当前队列中权值最小的结点是25和39,生成新的父结点权值是25+39=64:
第十一步:从队列中移除上一步选择的两个最小结点,把新的父节点加入队列
这是对第三步的重复操作,也就是从队列中删除25和39,插入64:
此时,队列中仅有一个结点,说明整个森林已经合并成了一颗树,而这棵树就是我们想要的哈夫曼树:
private Node root;private Node[] nodes;//构建哈夫曼树publicvoidcreateHuffman(int[] weights){//优先队列,用于辅助构建哈夫曼树Queue<Node> nodeQueue = new PriorityQueue<>(); nodes = new Node[weights.length];//构建森林,初始化nodes数组for(int i=0; i<weights.length; i++){ nodes[i] = new Node(weights[i]); nodeQueue.add(nodes[i]);}//主循环,当结点队列只剩一个结点时结束while (nodeQueue.size() > 1) {//从结点队列选择权值最小的两个结点Node left = nodeQueue.poll();Node right = nodeQueue.poll();//创建新结点作为两结点的父节点Node parent = new Node(left.weight + right.weight, left, right); nodeQueue.add(parent);} root = nodeQueue.poll();}//按照前序遍历输出publicvoidoutput(Node head){if(head == null){return;}System.out.println(head.weight); output(head.lChild); output(head.rChild);}publicstaticclassNodeimplementsComparable<Node>{int weight;Node lChild;Node rChild;publicNode(int weight){this.weight = weight;}publicNode(int weight, Node lChild, Node rChild){this.weight = weight;this.lChild = lChild;this.rChild = rChild;}@OverridepublicintcompareTo(Node o){returnnew Integer(this.weight).compareTo(new Integer(o.weight));}}publicstaticvoidmain(String[] args){int[] weights = {2,3,7,9,18,25};HuffmanTree huffmanTree = new HuffmanTree(); huffmanTree.createHuffman(weights); huffmanTree.output(huffmanTree.root);}
在这段代码中,为了保证结点队列当中的结点始终按照权值升序排列,我们使用了优先队列PriorityQueue。
与此同时,静态内部类Node需要实现比较接口,重写compareTo方法,以保证Node对象在进入队列时按照权值来比较。
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