3·14世界圆周率日，或许π还有N个意想不到的趣事
老张教育新思享2020-03-14 11:42
为了纪念π，美国麻省理工学院首先倡议将3日14日定为“圆周率日”(Pi Day)。全球各地的一些大学数学系也在这天举办派对。 是为了纪念中国古代数学家祖冲之 ， 通常是在下午1时59分庆祝 ， 有时甚至精确到26秒，以象征圆周率的六位近似值3.1415926.
π是数学中最著名的数。忘记自然界中所有其他常数也不会忘记它，π总是出现在名单中的第一个位置。如果数字也有奥斯卡奖，那么π肯定每年都会得奖。
π或pi，是圆周的周长和它的直径的比值。 本身的存在就是一个奇迹：不管一个圆有多大，它的周长和直径之比总是一个固定的数，它就是 3.141592653589793 … ，是一个无限不循环小数。
π的传奇探究历史
英国数学家琼斯（William Jones）在 1706 年第一次使用希腊字母 π 来表示圆周率，大数学家欧拉（Leonhard Euler）在 1737 年将这种用法普及开来。
1768年，·朗伯（Johann Lambert ）证明 π 是无理数，也就是说，π 不能表示成整数之比。
1882年，林德曼（Ferdinand Lindemann）证明圆周率是超越数，即它不是任何一个有理系数代数方程的根。圆周率超越性的证明解决了一个古老的难题——化圆为方，不可能用尺规作图法做出与指定圆面积相等的正方形。
德国数学家科伊伦（Ludolph Van Ceulen）使用纸笔用了几乎一生的时间，在 1609 年得到圆周率前35位。
英国业余数学家山克斯（William Shanks），花了 15 年时间在1874年得到圆周率的小数点后707位。但是，在 1944 年后人使用计算器发现他在 527 位之后就算错了。
1949 年，世界上第一台通用计算机 ENIAC 花费 70 小时计算出圆周率 2037 位。
π的精确数值
我们永远无法知道派的精确数值，因为它是一个无理数，这一点被约翰·兰伯特于1768年证明。π的小数展开是无穷无尽的，并且没有可预测的模式，它的前20位是3.141592653879323846…中国数学家所采用的√10的数值为：3.16227766016837933199，这个值在公元500年左右被婆罗摩笈所采用。事实上，这个只比3这个粗略近似值要好一些，它和派相比，它和π相比到小数点后第二位才不相同。
π可以从一个数列计算，一个著名的数列展开式。
但是这个数列需要一个很痛苦漫长的过程，才能收敛到π计算是几乎不可能的，欧拉找到了一个可以收敛到π的重要序列：
自学成才的天才拉马努金想出一个漂亮的派的近似公式。这个式子里仅涉及2的平方根：
数学家对π是如此的着迷，当兰伯特证明了它不可能是分数的时候，德国数学家林德曼在1882年解决了一个关于π的最重要问题。他证明了π是“超越”的，既π不可能是代数方程（一个仅含x的指数项的方程）的解。通过解决这个千古之谜，林德曼给出了“变圆为方”这一问题的结论，此问题为：给定一个圆，如何利用一对圆规和直尺，构造一个和它面积一样的正方形。林德曼最后证明了，这是不可能做到的。如今化圆为方，就代表办不到的事情。
对于π的精确计算得到快速发展。1853年，威廉·尚可斯宣称已经将它精确到了607位(实际上只今精确到了527位)。在当代，计算机给予了人们精确到更多位的新的动力，1949年，π被精确到了小数点后2037位。这是由ENIAC计算机经过了70个小时的计算完成的，到了2002年π已经精确到了令人咋舌的124100000000位，而且这个数还在继续增长。如果我们准备写出π的精确值，尚克斯的计算结果仅仅需要14米，而2002年得到的这个结果，足可以绕地球大约62圈。
人们提出并解答了关于π的各种问题，π的这些数字是完全随机的吗？有没有可能预测它的展开式里有一段序列？例如，有没有可能在展开式中出现0123456789这样的序列，在20世纪50年代，人们认为这个问题是不可知的，人们在π上已知2000位展开式中没有找到这样的序列。荷兰数学界的领军人物鲁易兹·布劳威尔认为这个问题毫无意义，因为他相信这个序列是不可能出现的，事实上，这个序列在1997年被找到了，它开始于第17387594880位，或者按照上面那个比喻，它所在的位置差5000公里就绕完地球整一圈了。你可以在仅仅一千公里后就可以发现10个连续的6，却要再绕地球一圈后再走6000公里才能找到10个连续的7。
π产生于圆周中，但是在数学中，它却无处不在，甚至涉及哪些和圆周毫不相关的地方。
布丰投针实验
在地板上画一系列间距为 2 厘米的平行线，然后把一根长度为 1 厘米的针扔在地板上。那么，这根针与地板上的线条相交的概率是多少呢？1733 年，法国博物学家布丰（Comte de Buffon）第一次提出了这个问题。1777 年，布丰自己解决了这个问题——这个概率值是 1/π 。
这个问题可以用微积分直接求解，也能利用期望值的性质得到一个异常精妙的解答。即使我们现在已经能轻易求出它的答案，结论依然相当令人吃惊——在这个概率问题上，竟然也有 π 的踪影。有人甚至利用投针法，求出过 π 的近似值来。
斯特林近似公式
我们把从 1 开始一直连乘到 n 的结果称作“n 的阶乘”，在数学中用 n! 来表示。也就是说：
1733 年，数学家亚伯拉罕·棣莫弗（Abraham de Moivre）发现，当 n 很大的时候，有：
其中 c 是某个固定常数。不过棣莫弗本人并没有求出这个常数的准确值。几年后，数学家詹姆斯·斯特林（James Stirling）指出，这个常数 c 等于 2π 的平方根。也就是说：
这个公式就被称作斯特林近似公式。
伽马函数
阶乘运算本来是定义在正整数上的，但我们可以很自然地把它扩展到所有的正数上——只需要寻找一条经过所有形如 (n, n!) 的整格点的曲线就可以了。由此定义出来的函数就叫做伽马函数，用希腊字母 Г 来表示。好了，神奇的事情出现了。我们有这样一个结论：
π 再次出现在了与几何毫无关系的场合中！
平方数的倒数和的极限
1 的平方分之一，加上 2 的平方分之一，加上 3 的平方分之一，这样一直加下去，结果会怎样呢？这是一个非常吸引人的问题。
从上表中可以看到，越往后加，得数变化幅度就越小。可以预料，如果无穷地加下去，得数将会无限接近于某一个固定的数。这个数是多少呢？
1735 年，大数学家欧拉（Euler）非常漂亮地解决了这一问题。神奇的是，这个问题的答案里竟然包含有 π：
两个整数互质的概率
如果两个整数的最大公约数为 1，我们就说这两个数是互质的。例如，9 和 14 就是互质的，除了 1 以外它们没有其它的公共约数；9 和 15 就不互质，因为它们有公共的约数 3。可以证明这样一个令人吃惊的结论：任取两个整数，它们互质的概率是 6 / π 2 ，恰好是上面一个问题的答案的倒数。在一个纯数论领域的问题中出现了圆周率，无疑给小小的希腊字母 π 更添加了几分神秘。
欧拉恒等式
这是整个数学领域中最伟大，最神奇的公式：
这个公式用加法、乘法、乘方这三个最基础的运算，把数学中最神奇的三个常数（圆周率 π、自然底数 e、虚数单位 i）以及最根本的两个数（0 和 1）联系在了一起，没有任何杂质，没有任何冗余，漂亮到了令人敬畏的地步。这个等式也是由大数学家欧拉发现的，它就是传说中的欧拉恒等式（Euler's identity）。《数学情报》杂志（The Mathematical Intelligencer）曾举办过一次读者投票活动，欧拉恒等式被评选为“史上最美的公式”。
然而，这些也都只是数学这个奇妙大世界的其中一角罢了。
音乐 π
David Macdonald 在一次背诵圆周率失败后，“发明”了一种独特的记忆方式，将原本令学渣们心生恐惧的冰冷数字变成了一首钢琴曲。
这首钢琴曲的名字叫《Song from π》，David 将弹奏这首钢琴曲的视频传到网上后立刻被刷屏，很快点击量就达到了300万，连David本人都表示震惊。网友们感叹David惊人的脑洞之余，对旋律也是赞不绝口。
电影 π
《π》，1998 美国 又名：《死亡密码》，导演：达伦·阿伦诺夫斯基
电影《π》讲述了一位数学天才麦斯试图在数字中推演出种种生命的奥秘和规律，他坚信与疾病传染周期、驯鹿数量的增减以及尼罗河的涨落一样，股市的背后也存在一个模式，而且就隐藏在一组数字之中。
当麦斯从π中得到216个数字的股市模式后，一位犹太学者和贪婪的华尔街大亨同时锁定了他，前者希望借此找到通往天堂的密钥，后者则试图掌握世界财富的终极密码，而他不愿将这数字交给任何一方......
在影片中麦斯对这个世界的推导：
所以在自然界中到处存在模式······，在股市中，数字的背后是否存在一个模式呢？······
它一直存在！
《π》是达伦·阿伦诺夫斯基的长片处女作，影片面世后一鸣惊人，先是获得圣丹斯电影节的导演奖，翌年又摘得独立精神奖的最佳编剧处女作奖。
币章 π
说到圆周率，自然会想到我国古代数学家、天文学家祖冲之，他对于中国乃至世界做出了重大贡献，也因此入选世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的科学家。
1986年中国人民银行发行了中国杰出历史人物金银纪念币（第3组），其中22克银币背面图案之一就是祖冲之。
祖冲之银币由童友明设计雕刻，币面简洁、朴素，除了人物主体形象的细腻刻画之外，背景案几上的“指南车”（发明与黄帝时代，后失传，祖冲之追修古法重造）和左上角几何图案的“祖率”，都更加烘托人物形象，使之立体、饱满。
除了祖冲之纪念币，上海造币有限公司还铸造了古代科技发明（一组）——祖冲之纪念章。
纪念章的正面图案为祖冲之头像、圆周率计算方式图等；背面图案为数字及数学进位制推算演化，以及一面具有中国特色的如意银算盘组成（以镶嵌工艺镶嵌在纪念章之上）。纪念章以算盘珠的形式，用圆中有孔的动静结合手法，将我国伟大科学家，祖冲之的形象和科学成就展现出来。新意的构思，启迪着对科学的敬重，展现出章牌的精美。
除了我国发行的币章外，2014年纽埃发行了“π——圆的秘密”彩色纪念银币。该币直径50毫米，重50克，面额2新西兰元，发行量500枚。该币最大的特点就是应用了纳米雕刻技术，在币面上的一个边长11毫米的方块内，容纳了π的超过100万个数字。
银币背面描绘的是阿基米德计算圆周率的场景。古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突出。古希腊大数学家阿基米德开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河，称得上是“计算数学”的鼻祖。
金字塔常常与神秘事物联系。有人发现金字塔底部的周长和高度之比得到的数字接近 2π，不过这可能只是个巧合。英国曾出现过一个麦田圈，包含 π 的前几位小数。
π 的数值中有不少趣闻，比如：
小数部分前 30 位不包含 0。印度的 Rajveer Meena 在2015年3月21日创造新的吉尼斯世界纪录，成为背诵圆周率最多的人，达 70,000 位。Rajveer 蒙上双眼，花费近 10 个小时才背诵完毕。小数点后第 762 位有的连续六个 9，费曼一次在课上讲到，可以把 π 背诵这儿，后边就可以说“999999 等等”，然后开玩笑说 π 是有理数。于是这个位置被命名为“费曼点”。
圆周率中的数字包含所有可能的排列组合，比如日期、电话号码、幸运数字等等。这有个有趣的网站，可以在 π 小数点后 2 亿位寻找指定的数列。
(说明：部分图片来自滨海科技馆，若不当及时删除）
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