这个图形的体积有限，但表面积却是无穷大
电子通信和数学2020-03-07 19:09
这是一个有趣的悖论。我有一个无限高的空心物体。我可以用油漆填充对象，但是如果我尝试用该油漆覆盖表面，将远远不够。
考虑双曲线1/x
我们选择右侧部分（以避免x= 0处的不连续性）并绘制从x = 1开始的图。我们考虑虚线右侧，曲线下方和x上方的（无限）阴影区域
我们围绕x轴在3维上旋转该区域，最后得到一个（无限长的）类似角的对象
我们使用旋转体的体积公式（最基本的体积计算公式，一定要理解）
由此得到如下结果
随着b越来越大，答案中的最终分数也越来越小，因此体积为有限量π，用数学符号表示为：
接下来，让我们考虑喇叭的表面积，旋转体的表面积计算公式为：
在这种情况下，我们有：
如果我们考虑分数的值，当x变得非常大时，我们可以看到它会非常接近1 / x（但会比它大一点）
因此我们可以得出以下结论：
现在，随着b越来越大，这个数量也越来越大。即，它是无限大的数量。
这是我们的两个解决方案的图，粉红色是体积V =π（1-1 / b），绿色是表面积SA =2πln（b） 。我们可以看到体积趋向于极限（π），而表面积却不断增大。
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