改变世界的数学定理——勾股定理，竟引发过一场巨大的数学危机
科学角度观世界2020-03-01 23:11
勾股定理的定义
勾股定理我们在初中时就曾学过，勾股定理是初等几何中最精彩、最著名和最有用的定理。所谓勾股定理就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方和。
即若一直角边的两条直角边的边长分别为a和b,斜边为c，则有a2+b2=c2，用几何的形式来解释，就是直角三角形直角边上的两个正方形的面积等于斜边上正方形的面积。
勾股定理
毕达哥拉斯的发现
勾股定理有着十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、埃及、巴比伦、中国、印度等）都对它有所研究。在西方，它被称为毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯是古希腊数学家、天文学家兼哲学家。生于希腊东部小岛萨摩斯。他创立了一个宗教、政治、学术合一的团体——毕达哥拉斯学派。该学派的信念是“万物皆数”，认为“一切数均可表示成整数或整数之比”，毕达哥拉斯学派有一个教规，就是将一切发现都归于学派的领袖，且对外保密，所以我们讨论其学术成就时，很难将毕达哥拉斯本人和他的学派分开。
毕达哥拉斯与勾股定理
相传，毕达哥拉斯在公元前550年首先发现了勾股定理，据说他在完成这一定理证明后欣喜若狂狂，杀牛百只以示庆贺，因此这一定理有获得了一个带有神秘色彩的名称“百牛定理”。1955年，为了纪念2500年前毕达哥拉斯学派的成立及其在文化上的贡献，希腊发行了一张邮票，图案由三个棋盘排列而成，显示的就是勾股定理。
为纪念毕达哥拉斯发行的邮票勾股定理引发的数学危机
令人觉得非常具有戏剧性的是，由毕达哥拉斯建立的勾股定理却与毕达哥拉斯学派的数学信仰相矛盾。毕达哥拉斯学派认为，一个数要么本身是整数，要么就是两个整数之比。我们今天知道，这指的是有理数。在当时的希腊人看来，任何量在任意精确度范围内都可以表示成有理数，这似乎是天经地义的。然而，在毕达哥拉斯提出勾股定理后，其学派中的一个成员系帕修斯却提出了一个问题：边长为1的正方形，其对角线长度是多少呢？
他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数，而只能用一个新数来表示，这就是数学史上的第一个无理数——√2，小小的发现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，它直接动摇了毕达哥拉斯的数学信仰，使毕达哥拉斯学派大为恐慌。
实际上，希帕修斯的发现在当时直接导致了古希腊人在认识上的危机，从而引发了西方数学史上的一场大风波，史称“第一次数学危机”
√2不能表示成整数比的证明过程：
证明过程希帕修斯就是用这种方法证明了√2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数”（任何数都可表示成整数之比）的数学信仰，使毕达哥拉斯为之大为恐慌，他立即下令封锁消息，并严令不能将此消息传到外人的耳朵里，否则处以极刑。希帕修斯听到次消息觉得自己的发现有可能被湮灭，所以和伙伴们一起暗地研究，不幸的是这个消息被传出去了，毕达哥拉斯知道后严查泄露机密的人，自然查到了希帕修斯头上。从此，希帕修斯开始了逃亡生涯。但不幸的是，最后被毕达哥拉斯派出去的人在一艘船上发现，残忍的直接将其投进大海。
直到这一危机彻底解决是在19世纪，依赖于数系的扩充和实数理论的建立。
无理数与数系的扩张——危机的解决
数轴
古代观点：数轴有理数现代观点：数轴实数
数轴上表示√2实数系具有连续性。有理数系具有稠密性，却不具有连续性。
数系的连续性和稠密性是两个不同的概念。数系的稠密性，通俗说成“到处都有”、“密密麻麻”；数系的连续性，通俗说成“一个挨一个”、“针插不进，水泼不进”
数系扩张为实数系以后，第一次数学危机就彻底解决了。因为数的范围扩充以后，“万物皆数”的命题就是正确的了，不能表成整数比的数，即无理数，也就是实数系的数了。
欧几里得关于毕达哥拉斯定理证明手稿从其中我们可以知道，直觉和经验不一定可靠，但是推理证明一定可以让人坚信的。从此希腊人从公理出发，依靠演绎推理，由此建立了几何学体系。这是数学史上一次革命，也是一个自然产物。危机的出现激发了富于追求精神的科学家的热情，促进了多种理论，例如：数学基础理论，逻辑理论的形成和发展。让希腊乃至整个数学界的数学得以发展。
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