《线性代数应该这样学》解读「12」
工科学习干货2020-02-22 23:26
大家好，今天的工科学习干货平台为大家继续解读线性代数，可关注我查看往期章节哦！
昨天我们给出了矩阵乘法的公式，今天我们要干什么！当然是证明!!!
3.7矩阵乘法公式证明
证明如下：
设(V1，…… ，Vn)是V的基， (W1，…… ，Wm)是W的基，(U1，…… ，Up)是另一个向量空间U的基.考虑线性映射S:U→V和映射T：V→W。它们的复合映射TS是从U到W的线性映射。
我们做映射的时候，是先把U映射到V再映射到W，这次化简也一样。这样我们得到了：
这个公式很重要！这就是我们得到的矩阵的元素，这个矩阵应该是m*p的矩阵，对不对？
那当然了！不信，不信我给你举个栗子！
根据我们的公式，比如说第一个矩阵，第2行第1列的数字3，乘上第二个矩阵，第1行第3列的4，得到的12就应该被放在第三个矩阵，第2行第3列的位置，你看看对不对？
总之记住这一点：做乘法的时候，把第一个矩阵里面所在列数和第二个矩阵里面所在行数相同的元素都拿出来乘一遍，摆在新矩阵对应的位置就好了。
其实，只有第一个矩阵列数和第二个矩阵行数相同，才可以做乘法。
第一个矩阵也就是第一个映射，第二个矩阵也就是第二个映射。
3.8向量的矩阵
向量的矩阵通常是n*1矩阵。
下一个命题表明，线性映射的矩阵，向量的矩阵以及矩阵乘法是如何结合在一起的。
在此命题中， M(Tv)是向量Tv关于基(W1，…… ，Wm)的矩阵，M(v)是向量v关于基 (V1，…… ，Vn)的矩阵，而M(T)是线性映射T关于基 (V1，…… ，Vn)和(W1，…… ，Wm)的矩阵。
首先我们表示一下M（T）：一是把线性映射的矩阵写出来（3.15），二是再把它写成目标空间的形式（3.16）。
我们再来看看原向量空间的矩阵，是这样的：
两边同时进行线性映射，再展开（就像证明矩阵乘法公式一样展开）：
实际上我们可以看到，展开的过程是就是在描述线性映射这样一种行为，即建立起原向量空间和目标空间的联系。
这个等式表明，向量Tv关于基(W1，…… ，Wm)的m*1矩阵M(Tu)由下面的等式给出，
根据矩阵乘法的定义，这个公式表明M(Tv) = M(T)M(v)。
3.9 可逆性
线性映射T∈L(V,W)称为可逆的(invertible), 如果存在线性映射S∈L(W,V)使得ST等于V上的恒等映射，并且TS等于W上的恒等映射。满足ST=I,TS=I的线性映射S∈L(W,V)称为T的逆(inverse)(注意第一个I是V上的恒等映射: 第二个I是W上的恒等映射)。（注：I就是恒等映射的表示，参加往期文章《解读6》）
这段话有点长，我缩一下，实际上就是S是T的逆。然后S需要满足一些条件，那就是ST是V上的恒等映射，TS也是W上的恒等映射。
逆具有唯一性。
我们通过同一法来证明：
如果S和S'都是T的逆，那么S=SI=S（TS'）=（ST）S'=IS'=S'。
也就是说，S=S'。所以逆是唯一的，如果T可逆，那么它的逆记为T^-1。
我们来练一个题目，正好也是一个很重要的结论把。
命题:一个线性映射是可逆的当且仅当它既是单的又是满的
明:设T∈L(V,W),那么需要证明, T是可逆的当且仅当它既是单的又是满的.
首先假设T是可逆的为了证明T是单的,设u,v∈V; Tu= Tv,那么
u= T^-1*(Tu)= T ^-1(Tv)= v,故u=v.因此，T是单的。
仍设T是可逆的。现在证明T是满的.为此,设w∈W,那么w= T(T^-1w),这表明w含于T的值域于是rangeT= w,故T是满的。这就完成了证明的一个方面。
现在假设T既是单的又是满的。我们需要证明T是可逆的对于每个w∈W,定义St是V中唯一使得T(Sw)=w的那个元素(由T既单又满可得此元素的存在性和唯一性)。显然,TS等于w上的恒等映射为了证明ST等于V上的恒等映射，设v∈V,那么
T(STv)= (TS)(Tv)=I(Tv)= Tv。
这个等式表明STv=v(因T是单的)，因此ST等于V上的恒等映射为了完成证明，还需要证明s是线性的。为此，设w1, w2∈W,那么
T(Sw1+ Sw2) = T(Sw1) +T(Sw2)= w1 +w2.
于是，Sw1+Sw2是V中唯-被T映成uw1+w2的那个元素.再由s的定义可得S(w1+w2)=Sw1+Sw2.因此，s满足加性齐性的证明是类似的.具体地,如果w∈w, a∈F,那么
T(aSw) = aT(Sw) = aw。
于是,aSw是V中唯一被T映成aw的那个元素。再由S的定义可得S(aw)=aSw.因此，s是线性的。
这部分没法儿马上理解没关系，大家先想一想，明天我会针对可逆性举一些例子，帮助大家理解。
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