2020年中考数学复习,二次函数图像中的易错题,数形结合求解

勤十二谈数学

发布时间:02-1412:01

二次函数是初中数学的重难点,常与全等三角形、相似三角形、四边形、圆等各知识点相结合,多以压轴题的形式进行考查。而我们这一节,主要讲解二次函数图像中的易错题,多以选择、填空的形式考查,一些常见的结论需要记忆,数形结合求解更容易。

二次函数的图像与性质

01a、b、c、△的确定

二次函数的一般式为:y=ax^2+bx+c,有二次项系数a、一次项系数b与常数项c,我们要会通过观察二次函数的图像确定它们的正负性。

二次项系数a的确定:看开口,开口向上,a>0;开口向下,a<0.一次项系数b的确定:看a与对称轴,对称轴在y轴左侧,b与a同号;对称轴在y轴右侧,b与a异号,简称为“左同右异”。常数项c的确定:看抛物线与y轴交点的位置,交点在y轴上方,c>0;交点过原点,c=0;交点在y轴下方,c<0.△的确定:看抛物线与x轴的交点个数,有两个交点,△>0;只有一个交点,△=0;没有交点,△<0。

例题1

分析:先看开口确定a,图像开口向下,a<0;再看对称轴确定b,对称轴在y轴右侧,b与a异号,b>0;最后看图像与y轴的交点位置确定c,图像与y轴的交点在y轴上方,c>0.因此,答案选C。

02特殊函数值的确定

常见的除了系数与△外,还有一些特殊的函数值。比如,当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c;通过这两个式子的联立,还可以得到a+c;当x=2时,y=4a+2b+c;当x=-2时,y=4a-2b+c;以及x=±0.5等等情况。其次,就是对称轴,当二次函数的对称轴为直线x=1时,可以得到2a+b=0;当对称轴为直线x=-1时,可以得到b=2a;当对称轴大于或等于1、大于或等于-1时,还可以得到b与2a的不等关系。最后,就是最值。

例题2

分析:抛物线开口向下,a<0;对称轴在y轴左侧,a、b同号,b<0;图像与y轴交于正半轴,c>0,因此abc>0,①正确;②只有在正确理解题意的基础上才能解决,在②的左右两边同时加上c,可以得到m(am+b)+c≤a-b+c(m为任意实数),先理解括号内的m为任意实数这几个字,说明这个式子对任意的实数恒成立。不等式的右边为a-b+c是x=-1时的函数值,通过图像可以发现,二次函数的对称轴是直线x=-1,即在x=-1时取得最大值。那么,对于任意的m所取得的函数值确实比最大值要小或相等,也就是说,②正确;

③还是先借助对称轴,当二次函数的对称轴为直线x=-1时,b=2a,那么3a-2b=3a-4a=-a,而a<0,则-a>0,根据作差法可得3a>ab,③正确;④可以发现是x=-2的函数值,因此在图像中找到x=-2即可。抛物线的对称轴为直线x=-1,抛物线与x轴的一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,那么抛物线与x轴的一个交点在点(-3,0)和(-2,0)之间,当x=-2时,y>0,所以4a-2b+c>0,④错误。答案选C。

03比较大小

比较大小常用的方法有作差法、作商法、平方法、倒数法等,而在二次函数中比较大小最常用的方法应该是图像法,抓住二次函数的图像左右两边关于对称轴对称,可以利用这个性质将在对称轴两侧的点转化到同侧去,然后再比较大小。

例题3

分析:

方法一:根据抛物线的解析式,可知二次项系数大于0,即二次函数开口向上,在对称轴的左侧y随着x的增大而减小,在对称轴的右侧y随着x的增大而增大,x=-2在对称轴的左侧,根据对称性与x=偶读函数值相等,此时将三个点都转化到对称轴的右侧,根据增减性可得:y1<y2<y3。

方法二:由方法一可知图像开口向上,在对称轴处取到最小值,并且越靠近对称轴,所取得的函数值越小,-2距离对称轴1个单位长度,1距离对称轴2个单位长度,2距离对称轴3个单位长度,因此y1<y2<y3。

这是二次函数中比较常见的三种类型题目,也容易出错,解题时需要借助图像数形结合解决。

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