中考数学真题:这题很多同学失分,原来要这样利用三角函数值条件

陈老师初中数理化

发布时间:02-1409:43

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利用勾股定理求解折叠问题中的三角函数值是数学中考的常考题型,本文就例题详细解析这类题型的解题方法,希望能给初三学生的数学复习带来帮助。

例题

如图,在矩形ABCD中,E是边AD上的点,且tan∠ECD=1/2,将△CDE沿CE对折,得到△CFE,延长EF交BC于点P,求sin∠EPC的值。

解题过程:

根据矩形的性质和题目中的条件:四边形ABCD为矩形,则AD∥BC,∠D=90°;

根据折叠的性质和题目中的条件:将△CDE沿CE对折得到△CFE,则∠PEC=∠DEC,∠EFC=∠D,∠ECD=∠ECF;

根据结论:∠EFC=∠D,∠D=90°,则∠EFC=90°,即CF⊥EP;

根据平行线的性质和结论:AD∥BC,则∠DEC=∠BCE;

根据结论:∠DEC=∠BCE,∠PEC=∠DEC,则∠BCE=∠PEC;

根据等角对等边性质和结论:∠BCE=∠PEC,则PE=PC;

根据题目中的条件和结论:tan∠ECD=1/2,∠ECD=∠ECF,则tan∠ECF=1/2;

根据题目中的条件和三角函数:∠EFC=90°,tan∠ECF=1/2,tan∠ECF=EF/CF,则EF/CF=1/2;

设EF=a,PC=b

根据结论:EF/CF=1/2,EF=a,则CF=2a;

根据结论:EF=a,PC=b,PE=PC=b,则PF=PE-EF=b-a,PE=b;

根据勾股定理和结论:CF⊥EP,PF=b-a,PC=b,CF=2a,PC^2=PF^2+CF^2,则a=2/5b;

根据结论:a=2/5b,CF=2a,则CF=4/5b;

根据三角函数和结论:CF⊥EP,CF=4/5b,PC=b,sin∠EPC=CF/PC,则sin∠EPC=4/5。

结语

解决本题的关键是根据折叠性质得到线段、角度间的等量关系,根据三角函数值得到线段间的数量关系,再根据勾股定理列出等式,求得线段间的比例关系,就可以轻松得到题目需要的值。

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