很全面的三角函数公式及推导过程(名家收藏)
我们都是三好学生2019-12-16 22:00
一、三角函数的定义
三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
（一）、三角函数的图像和性质
y=sinxgdsgs函数：y=sinx；
定义域：R；
值域：［-1，1］x=2kπ+π/2 时ymax=1，x=2kπ-π/2 时ymin=-1；
周期性：2π；
奇偶性：奇函数；
单调性：
在［2kπ-π/2,2kπ+π/2 ］上都是增函数；
在［2kπ+π/2 ,2kπ+2π/3］上都是减函数(k∈Z)；
y=cosx函数：y=cosx；
定义域：R；
值域：［-1，1］x=2kπ时ymax=1，x=2kπ+π时ymin=-1；
周期性：2π；
奇偶性：偶函数；
单调性：
在［2kπ-π,2kπ ］上都是增函数；
在［2kπ ,2kπ+π］上都是减函数(k∈Z)；
y=tanx函数：y=tanx；
定义域：｛x｜x∈R且x≠kπ+π/2,k∈Z｝；
值域：无最大值、无最小值；
周期性：π；
奇偶性：奇函数；
单调性：在［kπ-π/2,kπ+π/2 ］上都是增函数(k∈Z)；
y=cotx函数：y=cotx；
定义域：｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝；
值域：无最大值、无最小值；
周期性：π；
奇偶性：奇函数；
单调性：在［kπ,kπ+π ］上都是减函数(k∈Z)；
二、三角形各元素之间的关系
（一）、锐角三角函数
直角三角形在直角三角形中，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。对∠BAC而言，对边（opposite）a=BC、斜边（hypotenuse）c=AB、邻边（adjacent）b=AC，则存在以下关系：
如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。
（1）三边之间的关系：a^2＋b^2＝c^2。（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
锐角三角函数关系（二）、任意角三角函数
任意角
任意角三角函数关系三、三角函数公式
（一）、同角三角函数的基本关系式
如右图，六边形的六个角分别代表六种三角函数，存在如下关系：
三角函数速记方法1）倒数关系——对角相乘乘积为1。
sinθ·cscθ=1；
cosθ·secθ=1；
tanθ·cotθ=1；
2）商数关系——六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积。
sinθ=cosθ·tanθ；
tanθ=sinθ·secθ；
3）平方关系——阴影部分的三角形，处于上方两个顶点的平方之和等于下顶点的平方值。
sinθ^2+cosθ^2=1^2;
tanθ^2+1^2=secθ^2;
1^2+cotθ^2=cscθ^2；
（二）、诱导公式
口诀：奇变偶不变，符号看象限
公式一：设α 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
公式二：设 α 为任意角， π+ α与 α的三角函数值之间的关系：
公式三：任意角 -α与α 的三角函数值之间的关系：
公式四： π-α与α 的三角函数值之间的关系：
公式五：2π-α与 α 的三角函数值之间的关系：
公式六： π/2+/-α及3π/2+/-α 与 的三角函数值之间的关系：
诱导公式(1)的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限）
(2)的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限）
（三）、和角公式和差角公式
口诀：正余同余正，余余反正正
和差角公式其中当A+B+C=π时,有:
(1) 两角差的余弦
由余弦公式可得：
(2) 两角和的余弦
(3) 两角和的正弦
(4) 两角差的正弦
(5) 两角和的正切
(6) 两角差的正切
（四）、二倍角公式（含万能公式）
（五）、三倍角公式
三倍角公式（六）、半角公式（符号的选择由θ/2所在的象限确定）
半角公式（七）、积化和差公式
积化和差公式（八）、和差化积公式
口诀：正加正，正在前。正减正，余在前。余加余，余并肩。余减余，余不见，负号很讨厌。
和差化积公式证明：
（九）、辅助角公式
其中：角θ的终边所在的象限与点所在的象限相同，
（十）、正弦定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
斜边三角形在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。
正弦定理（十一）、余弦定理
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
余弦定理
（十二）、海伦公式
海伦公式（十三）、三角形的面积公式
面积公式（十五）、其它公式
（十六）、特殊角三角函数值
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