高中数学已知Sn求数列通项公式，老师教的阶差法，学生都说好用
大教育者2019-07-16 19:11
前面的文章详细介绍了累加法、累乘法以及一阶线性递推关系的数列通项公式的求解，这几种类型也是求解数列通项公式的基本类型，是后面所讲类型的基础，希望大家牢固掌握。本文和大家分享一下近几年高考常考的一种通项公式的求解题型：已知Sn求数列{an}的通项公式。
一、基础知识
已知Sn求解数列{an}的通项公式，常见的有两种类型：Sn=f(n)或Sn=f(an)，不管是哪种类型，均可以用阶差法即逐项相减法进行求解。总体思路为：an=Sn-S(n-1)，下面具体讲解。
（1）Sn=f(n)型即Sn是关于n的函数：
基本方法：当n=1时，a1=S1=f(1)……①；
当n≥2时，an=Sn-S(n-1)=f(n)-f(n-1);
对于n≥2时，所得的an中，取n=1，得到此时的a1，验证是否与①中的a1一致。如果一致，两个合并为一个通项公式，如果不一致，两个分段写。
（2）Sn=f(an)型即Sn是关于an的函数：
这种类型的通项公式，主要有2个思路：保留Sn或者保留an，即Sn与an两个只能留一个。
基本方法：当n=1时，S1=f(a1)，可求出a1；
思路1-保留Sn：当n≥2时，Sn=f(Sn-S(n-1))；此时可求出Sn=f(n)，再按照上面的方法求解即可。
思路2-保留an：当n≥2时，an=Sn-S(n-1)=f(an)-f(a(n-1))，解出这个方程后可得到an与a(n-1)两项的关系，再按照前面所讲的基本类型（累加法、累乘法、一阶线性等）的求解方法求解即可。
不管哪种思路，一定要注意n=1时的情况的讨论。
特别提醒：该种类型的通项公式的求解，在近几年的高考中时常出现，属于易考题型，方法比较简单，但是得分率却不太理想。失分的主要原因在于，很多学生没有验证当n=1时，两种方法计算出来的结果是否一致。
二、典例分析
反思：Sn=f(n)型的题目相对比较简单，但是计算后一定要注意对n=1进行验证，比如本题中两种情况下的a1不相同，因此就必须分成两种情况写，否则答案就会出现错误。
反思：（1）题目中出现了Sn和a(n+1)的关系式，可以用an=Sn-S(n-1)的关系式消去Sn，只保留an，然后求出an+1与an的关系。
（2）本题中出现了Sn和Sn-1，如果按照（1）中的方法消去Sn和Sn-1，会发现怎么也不可能同时消去Sn和Sn-1，因此本题考虑消去an求出Sn，然后再求出an。
三、针对训练
本文详细介绍了通过Sn求解数列通项公式的方法，后面的文章和大家分享分式递推式求解数列通项公式，敬请期待
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