中考热点：勾股定理妙用之最高境界，构造弦图解题
老张教育新思享2019-04-05 23:16
勾股定理的证明，从古至今引起无数人的关注，其证法到现在已有五百多种，“弦图”就是我国三国时期的赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法，是我国古代数学取得成绩一个题型。随着课改的深入，利用弦图或其衍生图来解决数学问题，已成为多个省市中考的热点题型。与弦图相关的中考题型有填空题、选择题、计算题及探究题，探究题更是丰富多彩，要多加注意；同时在解题时，要掌握作辅助线构造弦图的方法。
常见的弦图有如下形式：
其动图精彩演绎如下，令人耳目一新
内弦图
勾股定理的证明方法是多样的，而其中的多种方法是具有共性的。三垂直全等模型其实就是从弦图中衍生出来的一个模型，深入研究之后就会发现图形间很多有联系的东西。
我们知道，大的四边形ABDE是个正方形，中间那个小的也是正方形，然后周围四个直角三角形都全等。现在问题来了，这有什么用？事实上只是想告诉你一个很简单的结论，像这种正方形或等腰直角三角形整出来了一个这样的弦图，那么就会出现全等。这个很重要，在二次函数综合里面会有许多用处。涉及到的题型难度不是太大，就直接公布答案了。
在一些特殊图形中，由两边相等可以利用“旋转”的方式将三角形“转移”，从而达到转移边或角的目的.在没有明确给出“旋转”后的图形时，有的需要作辅助线进行构造.
复杂的“旋转型”与弦图，常见的一些模型如下：
下面仅举出两个例题，初步体会一下构造弦图解题带来数学魅力,后续还会推出几篇这方面文章。
例1．如图，ABCD为正方形，直线l、l、l分别通过D，A，B三点，且l∥l∥l，若l与l的距离为3，l与l的距离为5，则正方形的面积为______．
【解析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，勾股定理等，构建全等三角形，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
联想弦图结构特性，构造全等三角形，根据全等三角形的判定和勾股定理解答即可．如图，根据题意知：BE＝5，DF＝3，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAE+∠EAD＝90°，又∵∠EBA+∠BAE＝90°，∴∠EBA＝∠EAD，
在△BEA和△AFD中，∠EBA＝∠EAD，∠EBA＝∠AFD＝90°，AB=AD，
∴△BEA≌△AFD，∴AE＝DF＝3，
在 Rt△AEB中，根据勾股定理得：AB＝AE+BE＝9+25＝34，
故答案为：34．
变式．（易错题）如图，在同一平面内，有相互平行的三条直线a，b，c，且a，b之间的距离为5，b，c之间的距离是7．若等腰Rt△ABC的三个顶点恰好各在这三条平行直线上（任意两个顶点不在同一平行直线上），则△ABC的面积是_______．
【分析】分类讨论直角顶点分别在直线a，b，c上，构建全等三角形，利用勾股定理求得直角边的长，再利用三角形的面积公式可得结果．
当直角顶点在直线b上时，如图1所示，点B作BE⊥a，BF⊥c，
∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°，
∵∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE与△BCF中，∠E＝∠F，∠BAE＝∠CBF，AB=CB，
∴△ABE≌△BCF,∴AE＝BF＝7，BE＝CF＝5，
由勾股定理得，AB＝BC＝√74，∴S△ABC＝1/2ABBC=1/2×√74×√74＝37；
当直角顶点在直线a上时，如图2所示，
同理可得△ABE≌△BCF,∴AE＝BF＝5，BE＝CF＝12，
由勾股定理得，AB＝BC＝13，
∴S△ABC＝1/2ABBC＝1/2×13×13＝169/2；
当直角顶点在直线c上时，如图3所示，
同理可得，△ABE≌△BCF,∴AE＝BF＝12，BE＝CF＝7，
由勾股定理得，AB＝BC＝√193，∴S△ABC＝1/2ABBC＝1/2×√193×√193＝193/2；
综上所述，△ABC的面积是：37或169/2或193/2．
例2．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边作正方形BCDE，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝3，AO＝2√2，那么AC的长为________．
【解析】联想旋转型的弦图特征，可作如下辅助线添加，构造全等三角形。如图在CA上截取CM＝AB，连接OM，只要证明△ABO≌△MCO得△OAM是等腰直角三角形，求出AM即可解决问题．如图在CA上截取CM＝AB，连接OM，
∵四边形BCDE是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，
∵∠ABO+∠AKB＝90°，∠OCM+∠OKC＝90°，∠AKB＝∠OKC，∴∠ABO＝∠OCM，
在△ABO和△MCO中，AB=CM,∠ABO＝∠OCM，BO=CO，
∴△ABO≌△MCO，∴AO＝MO，∠AOB＝∠COM，∴∠AOM＝∠BOC＝90°，
∵AO＝OM＝2√2，AB＝CM＝3，∴由勾股定理可求得AM＝4，
∴AC＝AM+CM＝4+3＝7，故答案为：7．
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