中考热点：数学文化问题之米勒趣题应用及拓展，值得关注
老张教育新思享2019-03-21 20:33
什么是数学文化？ 狭义上讲，数学文化是数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。广义上讲 ，除上述内涵以外，还包含数学家，数学史，数学美，数学教育。数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系等等。新课改以来，对数学文化的研究更加深入。一个重要的标志是数学文化走进中小学课堂，渗入实际数学教学，使学生在学习数学的过 程中体会数学的文化品位和价值。
由于以数学文化为背景的新颖试题，能将数学知识、方法、文化融为一体，有效考查考生在新情境下对知识的理解以及迁移到不同情境中的能力，因此备受命题者的喜爱. 在近几年的中考中，以数学文化为载体的数学试题原来越多，所以同学们平时要注意了解和积累数学文化方面的常识。此类题多以数学文化为背景，与程序框图、几何、函数、三角函数、统计、概率等知识相交汇呈现.下面结合米勒问题，谈一下中考常考的热点题型数学文化问题命题特色几解题策略。
米勒(Johannes Miiller 1436-1476),德国数学家，对三角学做出了巨大贡献，是斐波那契以来欧洲最有影响的数学家.米勒1533年发表的名著《三角全书》是使三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作.该书共分五册，前两册讲平面三角，后三册讲球面三角.此外，他还讨论到一个新颖的极值问题——张角最大问题。米勒在1471年向诺德尔教授提出如下的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中的第一个，特别引人注目，因为米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”
米勒问题：如图点A、B为y轴上两个定点，C为x正半轴一个动点，求点C在何处时，∠ACB最大。
解析：假设点C是该圆与x轴的切点，点P为x轴上异于点C的任意一点，则∠APB是圆外角，所以∠APB<∠ACB。由圆的切割线定理知：OC=OA·OB，OC=√OA·OB,此时，∠ACB最大。
我们也可以用三角函数的方法来解决这个问题，假设OA=a,OB=b,OC=x,∠ACO=α,∠BCO=β，∠ACB=β—α，因为tan(a)=a/x,tan(β)=b/x,
tan（β—α)={tan(β)—tan(α)}/{1+tan(β).tan(α)}=(b-a)/(x+ab/x)
当x=ab/x时，即x=√ab 时,tan（β—α)最大。
思考1.在直角坐标系中，给定两点M(1,4),N(-1,2),在x轴的正半轴求一点P，使得∠MPN最大，则点P的坐标为_______
思考2.如图，在平面内有一直线AB，在AB上找一点C,使得点C对于线段MN有最大张角。
类型1 米勒趣题之最大视角问题
例1．1471年，德国数学家米勒提出了雕塑问题：假定有一个雕塑高AB＝3米，立在一个底座上，底座的高BC＝2.2米，一个人注视着这个雕塑并朝它走去，这个人的水平视线离地1.7米，问此人应站在离雕塑底座多远处，才能使看雕塑的效果最好，所谓看雕塑的效果最好是指看雕塑的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点，如图：过A、B两点，作一圆与EF相切于点M，你能说明点M为所求的点吗？并求出此时这个人离雕塑底座的距离．
【分析】根据直线和圆的位置关系，分析可以发现：当一圆与EF相切于点M时，此时视角最大．要求EM的长，可以转化为求弦的弦心距．根据图中的数据可以求得该圆的半径是2米，然后根据勾股定理即可求解．
【解答】连接OM，作OG⊥AB于G，连接OB，根据题意，得
OM＝BG+BE＝1.5+2.2﹣1.7＝2，
变式．某学校为了提升学生素质，要求学生利用休息时间参加社会实践活动．四月的一个星期天，该校学生小慧去市美术馆参观“中国梦精品中国画”美术作品展．据展览说明介绍，参观作品时人眼看作品的视角α是30°时欣赏美术作品的效果最佳．当小慧看到一幅2米×2米的作品时（如图所示）发现该作品挂在墙面上的顶端A点距离地面3.8米．若小慧的眼睛距离地面1.60米，当看到该作品的效果达到最佳时，小慧的眼睛距离挂美术作品的墙面的最远距离是（ ）
A．4米 B．2√3米 C．（2+√3）米 D．（√3+1.6）米
【分析】如图，CN＝1.60m，AB＝2m，AM＝3.8m，作CF⊥AB于F，OE⊥AB于E，OH垂直地面于H交CF于D，则DH＝FM＝1.60m，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACB＝60°，则△AOB为等边三角形，所以OA＝AB＝2，AE＝BE＝1，OE＝√3AE＝√3，则DF＝OE＝√3，再计算出EM＝AM﹣AE＝2.8，EF＝EM﹣FM＝1.2，则OD＝EF＝1.2，在Rt△OCD中，利用勾股定理计算出CD＝1.6，然后计算DF+CD即可．
【解答】如图，CN＝1.60m，AB＝2m，AM＝3.8m，作CF⊥AB于F，OE⊥AB于E，OH垂直地面于H交CF于D，则DH＝FM＝1.60m，
∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
而OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，
∴OA＝AB＝2，AE＝BE＝1，OE＝√3 AE＝√3，∴DF＝OE＝√3，
∵EM＝AM﹣AE＝3.8﹣1＝2.8，
∴EF＝EM﹣FM＝2.8﹣1.6＝1.2，∴OD＝EF＝1.2，
在Rt△OCD中，∵OC＝2，OD＝1.2，
即小慧的眼睛距离挂美术作品的墙面的最远距离是（√3 +1.6）m．故选：D．
类型2 米勒趣题之拓展问题，最大角存在性问题
例2．（1）如图①，AB是⊙O的弦，点C是⊙O上的一点，在直线AB上方找一点D，使得∠ADB＝∠ACB，画出∠ADB，并说明理由；
（2）如图②，AB是⊙O的弦，点C是⊙O上的一点，在过点C的直线l上找一点P，使得∠APB＜∠ACB，画出∠APB，并说明理由；
问题解决：
（3）如图③，已知足球球门宽AB约为5米，一球员从距B点5米的C点（点A、B、C均在球场底线上），沿与AC成45°角的CD方向带球．试问，该球员能否在射线CD上找到一点P，使得点P为最佳射门点（即∠APB最大）？若能找到，求出这时点P与点C的距离；若找不到，请说明理由．
【分析】（1）在优弧AB上任意取一点D，连接AD、BD，则∠ADB＝∠ACB．根据同弧所对的圆周角相等即可证明．
（2）如图②中，过点C的直线l与⊙O交于点E，在CE的延长线上取一点P，连接PA、PB，则∠APB＜∠ACB．设AP交⊙O于F．由∠AFB＞∠APB，∠AFB＝∠ACB，即可证明．
（3）如图③中，作经过点A、B且和直线CD相切的圆，切点为P，此时∠APB最大．根据切线长定理即可计算．
【解答】（1）如图①中，在优弧AB上任意取一点D，连接AD、BD，则∠ADB＝∠ACB．
理由：∵弧AB＝弧AB，∴∠ADB＝∠ACB．
（2）如图②中，过点C的直线l与⊙O交于点E，在CE的延长线上取一点P，连接PA、PB，则∠APB＜∠ACB．
理由：设AP交⊙O于F．
∵∠AFB＞∠APB，∠AFB＝∠ACB，∴∠APB＜∠ACB．
（3）如图③中，作经过点A、B且和直线CD相切的圆，切点为P，此时∠APB最大．
∵PC是切线，∴PC＝CBCA，（可以证明△CPB∽△CAP，得到CP/CA=CB/CP）
∵CB＝5√2，AC＝10√2，∴PC＝5√2×10√2＝100，∴PC＝10米，
答：点P与点C的距离为10米．
【点评】本题考查圆综合题、同弧所对的圆周角相等、切线长定理、三角形的外角大于任何一个不相邻的内角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
例3．(淄博中考题）如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使∠APB＝30°的点P有______个；
（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．
【分析】（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB＝30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．
（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标．
（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．
【解答】（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，
以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．
在优弧APB上任取一点P，如图1，
则∠APB＝1/2∠ACB＝1/2×60°＝30°．
∴使∠APB＝30°的点P有无数个．
故答案为：无数．
（2）①当点P在y轴的正半轴上时，过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．
∵点A（1，0），点B（5，0），∴OA＝1，OB＝5．∴AB＝4．
∵点C为圆心，CG⊥AB，∴AG＝BG＝1/2AB＝2．∴OG＝OA+AG＝3．
∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB＝4．
（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．
理由：可证：∠APB＝∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大． 由sin∠AEH＝2/AE 得：当AE最小即PE最小时，∠AEH最大．所以当圆与y轴相切时，∠APB最大．
①当点P在y轴的正半轴上时，连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．
∵⊙E与y轴相切于点P，∴PE⊥OP．
∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO＝∠POH＝∠EHO＝90°．
∴四边形OPEH是矩形．∴OP＝EH，PE＝OH＝3．∴EA＝3．
∵∠EHA＝90°，AH＝2，EA＝3，
②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P（0，﹣√5）．
理由：（a）若点P在y轴的正半轴上，
在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），
连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．
∵∠ANB是△AMN的外角，∴∠ANB＞∠AMB．
∵∠APB＝∠ANB，∴∠APB＞∠AMB．
(b)若点P在y轴的负半轴上，同理可证得：∠APB＞∠AMB．
综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，
此时点P的坐标为（0，√5）和（0，﹣√5）．
和角度相关的存在性问题通常要放在直角三角形中处理，通过锐角三角函数将角的特征转化边的比例特征来列方程求解，一般过定点构造直角三角形，构造圆，利用直径特性以及圆周角活直线与圆位置特性来实现。
举报/反馈
0
0
收藏
分享
