圆锥曲线中隐含着的美学元素：椭圆、双曲线、抛物线
遇见数学2019-03-17 11:26
圆锥曲线(Conic Section, 又称圆锥截面、二次平面曲线)是平面解析几何中的重点内容，同时也是高考中占比较大的部分。它包括椭圆、双曲线、抛物线，反映出数学的特征和本质属性。圆锥曲线蕴含着函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，其中数形结合思想是圆锥曲线的核心思想！它对于运算求解能力、推理论证能力有一定的要求。在我看来，圆锥曲线也隐含着数学中不易察觉的美学元素，椭圆、双曲线、抛物线都是从圆锥中切出来的。查看下面动画所示：
对于圆锥曲线，必须定义当先圆锥曲线的定义相当重要。因为数学的研究对象是事物的数量关系和空间形式，所以唯有透彻的理解圆锥曲线的定义，才能对其有更深层次的认知。
1、椭圆(Ellipse)
何谓椭圆？椭圆即平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于一个常数（大于 |F1 F2|）的点的轨迹。与之对应的符号语言为：
请观察下图：
提起椭圆，大家最先想到的就是宇宙中星体的运行轨迹。没错，宇宙中大多数星体的运行轨迹都是椭圆。一般都是以太阳为其中一个焦点运转。生活中的椭圆更是数不胜数，比如 鸡蛋、浴缸、橄榄球……当你把数学与生活相结合的时候，会发现数学并不是你想象中的那么枯燥无味。
圆锥曲线是高中解析几何中计算量较大的一部分，但其基本思路较为明确，一般都是联立合并消元韦达定理中点坐标公式/弦长公式这种套路。
2、双曲线(Hyperbola)
何谓双曲线？双曲线即平面内与两个定点 F1、F2 的距离差的绝对值等于常数（小于 |F1 F2| ）的点的轨迹。与之对应的符号语言为，其中(0<2a<2c)：
请观察下图：
双曲线最容易被忽略的就是绝对值的问题，由于思维定势，很可能导致双曲线就变成了一支。双曲线区别于椭圆最关键的一点就是：在双曲线中 c 最大，而在椭圆中 a 最大。双曲线被离心率和渐近线所限制，每一支双曲线都是无限趋近，但永远不相交于过原点的一次函数。
双曲线在很大程度上都与椭圆有相似之处，它们之间的联系也比较密切，但真正应用起来，就普遍感觉到双曲线的难度大于椭圆。
3、抛物线(Parabola)
何谓抛物线？ 抛物线即平面内到定点 F 的距离与到定直线 L 的距离相等的点的轨迹。 与之对应的符号语言为：
抛物线在建筑学上的应用非常广泛，其中拱桥就是抛物线的典型模型。物理学上的抛体运动也是抛物线的集中体现。类比于椭圆与双曲线，通过数形结合与转化分析，可以进一步体会抛物线中分类讨论的思想方法。
圆锥曲线完全可以与向量、导数、零点等模块相结合。圆锥曲线虽然作为解析几何的一部分，但是与其他领域有非常密切的联系。高中阶段主要对圆锥曲线的宏观表现进行研究，然而圆锥曲线的微观本质 也非常值得我们去探索。
圆锥曲线大多数都是含参求解，尤其是对于动点问题以及存在问题的讨论。要善于运用数学中特有的符号语言和图形语言，数学中最高级的语言就是图形语言。
如今流行一个词叫核心素养，说白了，就是当你把这个学科的知识点全部忘记的时候，还能剩下的东西。在数学领域，那便是数学思维。思维很重要，学会思维，才能更好的学习。在我看来，圆锥曲线最核心也是最本质的东西，可以概括为三句话：有点写坐标、有线列方程、相交必联立！这也是数学思维的体现，无论何时，最本质的东西不能丢。正如古人所言：人不能忘本。
绝对的原创作品，因学识浅薄，能力有限，不足之处敬请批评指正。 愿此篇文章让更多人发自内心的热爱数学，乐于探索数学。(完, 部分图形自 mathworld.wolfram.com)
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