对“偏导数”和“梯度”最形象直观的解释

电子通信和数学

发布时间: 19-03-1307:50教育领域创作者

偏导数和梯度是数学中的重要概念,贯穿于许多自然学科,本篇就用形象的图形来解释它们的原理

图中是有X Y 变量 和有X Y变量组成的函数Z=f(X,Y)图形

我们保持X值不变,仅改变Y值得情况下如图

Z值仅随Y值在变化,所以Z的变化量除以Y的变换量就是该线的斜率

将X换个固定值,同样Z的变化量除以Y的变换量就是该线的斜率,只是斜率的大小不一样

Z的增量除以Y的增量,我们称之为Z对Y的偏导数

同理,我们保持Y值不变,Z值仅随X值改变,Z的增量除以X的增量,我们称之为Z对X的偏导数

我们用一个箭头来表示斜率的正负,箭头表示斜率的大小

斜率不同箭头方向不同

每个点都有一个箭头来表示Z对X的偏导数

同样,每个点都有一个箭头来表示Z对Y的偏导数

我们将这两个箭头向量相加,就得到一个新向量,称之为Z的梯度

Z的梯度向量总是指向Z函数增长最大的地方

所以可以得出梯度是Z=f(X,Y)某一点的含有方向的导数,这个方向导数乘以该点的单位向量,就得到一个准确数值,这个数值就是该点在这个方向上的变换率。

偏导数和梯度是数学和许多物理学科非常重要的概念。

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