傅里叶变换是如何定义了量子力学概率波的不确定性
增广见闻2018-12-18 12:05
首先，我们举一个很经典的例子，从声音中分解频率。但是在此之后，我还想说明一下，这个例子的适用范围远不止声音和频率，在许多看似无关的数学领域，甚至物理世界中都可以用到。
两个波的合并A440是纯A音频率440，D294是D音频率294，把它们当成两个关于时间的正弦波函数，当这两个音同时播放时，在任意时刻，这个合成波形的变化是两个波的总和，在某些点上，两个峰值叠加产生更高的峰值，或者抵消不变。
多个波的合并当你加入更多音调时，它们就全都混合在一起了，波浪也会变得越来越复杂。我们的问题是，如何把这样一个复杂的波形，分解找到其中纯音的频率呢？我们的方法是建造一台数学机器，让它能够区别不同的频率。
波的分解首先，只考虑一个波形，关键思想在于，我们要把这个图像缠绕在一个圆上，具体来说想象一个旋转的矢量，在任意时刻，它的长度等于这个时刻的图像高度。所以，高处的点对应圆上离圆心较远的点，低处的点对应圆上离圆心较近的点。
将波形缠绕到圆上第一个重点来了，矢量绕圆的频率。不同的频率可以画出不同的图案（波形绕圆的松紧），类似繁花曲线规的画图。我们可以随意调整这个频率，更快或更慢，得到不同的图案。但当缠绕的频率和信号的频率相等时，会出现特别的图案。所有波的高点都在圆的右半边，低点都在圆的左半边。
不同频率得到不同图案第二个重点，绕圆图案的质心，你可以理解为图形的重心。当我们改变矢量绕圆频率时，图像的缠绕方式发生变化，质心的位置也会晃动。大部分频率下质心与圆心非常接近。但是当两个频率相同时，质心就会非常偏右。
两个频率相同时质心偏右为了捕捉这个现在，我们画个图，跟踪质心的位置。它在平面内移动，所以要两个坐标，但是我们只跟踪X坐标就可以。频率为0时，所有的点都聚集在右边，质心的X坐标比较大。增加频率时，图像平均分布在圆上，质心的X坐标也就趋近于0，并且在0附近摆动。当二者频率相同时，会出现一个尖峰，因为质心离开圆心偏向右侧。而这个尖峰的频率就是波的频率。
这就是近似傅里叶变换，通过质心频率坐标，它帮助我们挑选出一个波的频率。调整频率，画出质心X坐标，得到高峰，高峰所在的频率就是波的频率。而且它能读取几个波合成的复杂信号，并把它们挑出来（除了在频率附近的尖峰外其他地方几乎都是0，以此区分不同频率的波）。
现在我们能通过近似傅里叶变换挑出复杂波形里的波，真正的傅里叶变换是什么呢？还记得质心坐标我们只取了X值，实际应用时用的是复数来表示平面坐标，它更适合描述与缠绕和旋转有关的事物。它给了我们一个非常好的方法将缠绕图表现成简单（看着挺复杂）的公式。
通过延长波形取值时间，将质心X值成指数放大，尖峰更尖更窄，所以时间越长时间函数的傅里叶变换越明显。
在量子力学里，由于函数对应的是概率，所以，频率（动量）概率集中的时候，时间（位置）概率的可选择性就小，反之亦然。再加上测量使波函数塌缩，就无法同时测量位置和动量了，这就是不确定性的来源。
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