古代朴素的微积分思维,通过计算圆形面积公式可以探知

隐士申子源

发布时间: 18-05-0808:19许汪 研究员 中国中医科学院

从汉代的数学家刘微和祖冲之等人引用《周髀算经》的内容以及标注的内容来看。

至少《周髀算经》是在汉代往前的数学著作,这点是没有异议的。

我们今天要讲的这本古代著作,流传更加广泛,自从汉朝起,历代的科学大V,数学大V,天文学大V,必修之课,

它就是《九章算术》,其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订,而逐渐成为现今定本的,西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理,其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期,现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年(263年),刘徽为《九章》所作的注本。

甚至,唐朝的李淳风也给此书做详细批注,对,就是那个写了一本预言网红教材《推背图》的作者之一,李淳风的另外一本经典著作《乙巳占》采用了大量的算法来自《九章算术》,不是突然感觉到很亲切,感情这些历史大V都是用九章算术中的算法在推算未来,我们小学都读了,好不好。

你确定读的是李淳风的同款《九章算术》?

《九章算术》是中国古代第一部数学专著,是《算经十书》中最重要的一种,成于公元一世纪左右。该书内容十分丰富,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时,《九章算术》在数学上还有其独到的成就,不仅最早提到分数问题,也首先记录了盈不足等问题,《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。它是一本综合性的历史著作,是当时世界上最简练有效的应用数学,它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。

我们现在不是在纠结这本伟大的数学著作到底是什么年代成书的,我们好奇的是其中的内容,负数,求乘方根什么的,都是小意思了,但是,居然有微积分的知识在里面。

有没有搞错?大写加粗!

我们先上一段原文吧,然后详细说,请看上图,敲黑板:

这段话,文言文不好的人,估计还是看不懂,我们翻译一下,对一个圆形来说,周长的一半和半径的乘积,等于这个圆的面积。

圆周的一半X半径=圆的面积。

好像有什么不对吧?

我们学习的圆的面积公式是什么来着,π什么啥的。好好回忆一下。

对头,就是这个公式。

那么问题就来了,你知道π是怎么来的,你能够用数学原理推出π值来吗?

如果没有π值,是不是就不会算了啊?

别着急,古代的数学家也是采用了很多办法。

汉朝,注意,是汉朝的牛人刘微,发现圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差,用有限次数的分割、拼补,是无法证明《九章算术》的圆面积公式的。因此刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明。

他从圆内接正六边形开始割圆,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至不可割,则与圆周合体,而无所失矣。”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍,则它们与圆面积的差就越来越小,而当边数不能再加的时候,圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积。刘徽考察了内接多边形的面积,也就是它的“幂”,同时提出了“差幂”的概念。“差幂” 是后一次与前一次割圆的差值,可以用图中阴影部分三角形的面积来表示。同时,它与两个小黄三角形的面积和相等。刘徽指出,在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中,圆半径在正多边形与圆之间有一段余径。以余径乘正多边形的边长,即2倍的“差幂”,加到这个正多边形上,其面积则大于圆面积。这是圆面积的一个上界序列。刘徽认为,当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时,“则表无余径。表无余径,则幂不外出矣。”就是说,余径消失了,余径的长方形也就不存在了。因而,圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积。于是内外两侧序列都趋向于同一数值,即,圆面积。

割圆术,简单来说就是不断的增加圆内接正多边形的边数,不断的割割割,到了最后内接多边形的面积就非常接近圆形面积了。

据说,祖冲之在研究割圆术过程中,搞出来一个几万条边的多边形。

如果,一个中学生,在给一个圆做内接多边形,一直整出来一个一万个边的多边形,同时,不断的计算每次新割增加边数的多边形与上一次的多边形的差值,不断的计算。

他到这个时候,还发现不了无穷小的概念,还有无穷逼近的概念,只能说天资太差,当然刘微,祖冲之,都是高智商的人。(下图是一张启发思维的图,与本文关系不大,注明)

他们发现了无限逼近的概念,大家应该不觉得意外吧。

那么,问题就来了。这个无限逼近的值怎么算?看下图:

首先,要说明一个问题,圆内接,内接圆,古人早就知道了,在本文开头的那本《周髀算经》把圆方的关系弄的清清楚楚的。

祖传之的内外逼近法思路,如下图:(不是太好标注数量,当做大家看懂了)

在则,算矩形面积,三角形面积这些事情,早就会了,别他们当原始人。

在上面这个圆形图之中,所画的三角形面积有:

这没有问题,关键的时刻就要到来,祖冲之老先生,刚刚才用割圆术割出来几万条边。

同时发现了无限逼近的趋势,

为什么说古代掌握了微积分了呢?

因为在计算圆周的过程中π其实就是一个带误差的中间值。

而真正起到精确效果的是:直径和圆周。

而且,《九章算术》一开始就告诉大家这个结论:半周半径相乘得积步。

让刘微,祖冲之这些数学家忙了半天。

微积分算面积的根本思维,就是在求极限值。

掌握了极限值的本质的数学家,掌握微积分真不是问题。

《素问·阴阳离合论》有曰:“阴阳者,数之可十,推之可百,数之可千,推之可万,万之大不可胜数,然其要一也。”

真的不要以为,中国人不懂微积分,汉朝就掌握了。只不过表述方式不一样而已。

常识性知识:从微积分成为一门学科来说,是在17世纪,但是积分的思想早在古代就已经产生了。

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