对于学生而言，刷了无数的题，总结了无数的解题方法，做了无数的笔记，积累了无数的错题，普遍认为初中平面几何问题中，最难是几何最值问题，而几何最值问题往往又与平面几何三大变化（平移变化、轴对称变化、旋转变化）相关。

几何最值理论依据有：①两点之间，线段最短。

②点到直线的距离，垂线段最短。

③三角形三边关系。

几何最值所用思想：转化思想

今天介绍瓜豆原理，俗语有云：种瓜得瓜，种豆得豆。反之则是：种瓜不得豆，种豆不得瓜。一个中学数学课本不曾提到的知识点，为何能成为中考的热门考点？其实不难解释，其本质是位似图形，而位似本质是相似，相似是初中高频考点。

瓜豆原理指的是：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。主动点在直线上运动，从动点的运动轨迹也是直线。主动点在圆周上运动，从动点的运动轨迹也是圆。这种主从联动轨迹问题，我们称之为瓜豆原理，瓜豆模型。

简而言之：定点定角定比例，是这个模型的三要素。

题型特点：

①有两个动点，一个定点（两动一定）

②两动点和定点之间连线段夹角的度数是定值（定角）

③两动点和定点之间连线段长度的比值是定值（定比值）

解题步骤：

1.找出主动点的起点和终点；

2.找出题中所有的定点；

3.验证两个必要条件,即:主、从动点与定点连线的夹角为定值:主、从动点到定点的距离之比是定值；

4.若上述两个必要条件成立,则确定为“瓜豆”模型,进而确定从动点的起点和终点；

5.利用“主动点的起点、终点、定点组成的三角形与从动点的起点、终点、定点组成的三角形相似(或全等)”及“主动点运动轨迹与从动点的运动轨迹的夹角(锐角)等于主、从动点与定点连线的夹角求解；模型证明

情况1：种线得线

如图，动点P在线段BC上运动，点A为定点，点Q为另一动点，且满足条件:

①∠PAQ是定值

②AP:AQ是定值

则动点Q的轨迹与动点P的轨迹一致，即点P在线段BC上运动则点Q在另一线段MN上运动,

且△BAC∽△ MAN.

证明：∵∠ABM=∠CAN=α

∴∠BAC=∠MAN

∵AB:AM=AC:AN

∴△BAC∽△ MAN（SAS）

∴∠ACB=∠ANM

∴∠NEC=∠CAN=α

∴点Q在线段MN上运动

情况2：种圆得圆

已知点P在圆M上运动，AP：AQ=√2:1，∠PAQ=45°，则点Q的运动轨迹。

证明：如图：连接AM,PM将PAM顺时针旋转45°，并缩小为原来的√2/2，得到AN，连接NQ

∵AP：AQ=√2:1，∠PAQ=45°

∴∠MAP=∠NAQ

∴△MAP∽△NAQ（SAS）

∴MP=√2NQ

∴NQ是定值，点N是定点

∴点P在以点N为圆心，NQ为半径的圆上运动

综上所述：满足两定一定，定角，定比三个特点的模型即为瓜豆原理。（选填题无需证明）

典型题：

如图，正方形ABCD中，AB=2√5，点O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到DF连接AE，CF,则线段OF的最小值为_________

分析：①主、从动点与定点连线的夹角为定值,即∠EDF=90°（定角）

②主、从动点到定点的距离之比是定值ED:FD=1:1（定比）

两动一定+定角+定比三要素齐全，种圆得圆

解：辅助线如图所示，对于填空题，直接得结论计算即可

易得：△DOO’为等腰直角三角形

当点O,F,O’三点共线时，OF最小

∴OO’=√2OD=5√2

∴OF最小=5√2-2

∴OF最小值为5√2-2

思考题：（可在评论区打出答案）

思考1：如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=6，∠DAC=60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE,点E和点A分别位于DF两侧，则点E运动的路径长是_______________

思考2：如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=16，BC=12,点P在以AB为直径的半圆上运动，

由点B运动到点A.连接CP，点M是CP的中点，则点M运动的路径长为___________