哥德尔的两个不完全性:
(1) 所有基于皮亚诺算术公理的,数学原理式的数理逻辑体系,都将包含不可判定与不可证明的句子(第一定理)。
(2) 没有一个这样的数理逻辑体系,能够证明自身的一致性,因此数学公理的真理性,必须在这些体系之外得到证明(第二定理)。
接下来,我们将分 30 个步骤,非正式地介绍,库尔特-哥德尔关于数理逻辑不完备性的精彩、著名且在哲学上具有毁灭性的论证,其中 "数理逻辑 "被理解为怀特海和罗素的《数学原理》,以及本质上类似的体系。
步骤 1.
逻辑主义是,或更准确地说,曾经是逻辑、数学和哲学项目,它从解释学和本体论的角度,将数学还原为逻辑。
逻辑主义与 1880 至 1950 年间古典分析哲学的出现、兴起和衰落密切相关,甚至本质上就是如此。
更广义地说,在经典弗雷格(只针对算术)和怀特海与罗素(针对所有数学)的意义上,逻辑主义将数学还原为逻辑的一个必要条件是,每一个真正的数学句子,都可以在原理式的逻辑体系中得到证明。
步骤 2.
19 世纪末,弗雷格曾在《算术基本定律》中尝试对算术,进行这种逻辑主义的还原。
在怀特海和罗素的《数学原理》中,他们提出了一个数理逻辑体系,该体系本应成为所有数学实现这一目标的逻辑载体:这是一个经典的二价量化(在个体和函数上)多义(多位置)谓词逻辑。
但哥德尔完备性扼杀了经典弗雷格,和怀特海与鲁塞尔版本的逻辑学计划,从而给经典分析哲学的计划带来了严重的障碍。
第 3 步
耐人寻味的是,哥德尔的论证使用了,康托尔的一个极其惊人的数学发现:对角线化论证,以证明无穷数的存在,即不可数的无穷数。
也就是无法与自然数的无穷集合形成 1-1 对应关系的无穷集合。
康托尔是如何做到这一点的呢?
让我们假设自然数集(即 1、2、3......)是无限的:那么当且仅当一个数集能与自然数集形成 1-1 对应关系时,它就是可数无限集。
事实证明,整数(0、1、2、3......)、整数(整数及其负镜像)、有理数(整数加上所有重复小数和终止小数),以及所有基于有理数的基本(原始递归)数学运算的数集,都具有与自然数相同的心数(计数-数-度),因为它们可以与自然数配成 1-1 对。
基本上,康托尔创造了一种方法,可以自上而下地垂直显示正有理数系统中的所有数列(由于负数只是正数的镜像,因此它们除了被标记为负数外没有任何区别)。
然后,他在列表上画了一条对角线。
根据假设,一个完整的列表包含了所有的有理数,而有理数是无穷多的,那么被对角线挑出的无穷个数并不在列表中,因此它的心数是不可数的,但仍然是无穷的,也就是无穷的。
此外,由于列表是一个二维数组,而横贯列表的对角线系统地,挑出了一个不在数组二维空间内显示的数,因此它实际上代表了二维数组之外的第三个更高的空间维度。
因此,无穷级数实际上就是更高维的数字。
步骤 4.
现在,整个系统的逻辑属性 "一致性 "指出,一个系统不包含任何矛盾,而矛盾是一个句子和它的否定的连词。
矛盾在逻辑上必然是假的,即在每一个逻辑上可能的世界中都是假的。
从经典上讲,在任何逻辑体系中出现矛盾,都是一件非常糟糕的事情,因为以矛盾为唯一前提,你可以证明任何句子,无论其多么虚假。
步骤 5.
健全性的全系统逻辑属性,是指一个系统的所有定理(可证明的句子)都是该系统的真句子。
第 6 步.
完备性的全系统逻辑属性说,一个系统的所有真句都是该系统的定理(可证句)。
第 7 步
接下来,假设这三个全系统的逻辑属性在规范上具有严格的直接相关性。
在此理论背景下,我们该如何证明哥德尔完备性呢?
第 8 步。
从原理式的数理逻辑体系开始,在其中加入算术的基本公理,即 (1) 0 是一个数,(2) 任何数的后继数都是一个数,(3) 没有两个数有相同的后继数,(4) 0 不是任何数的后继数,(5) 属于 0 的任何性质,以及属于具有该性质的每个数的后继数的任何性质,与自然数的原始递归函数--后继函数、加法、乘法、指数等--一起,属于所有的数。
步骤 9.
然后,假设丰富的系统是一致的、健全的和完整的。
第 10 步
因为丰富系统是通过皮亚诺公理和原始递归函数来表示算术的,所以系统中会有无数个真句子。
第11步
哥德尔创造了一种方法,可以给这样一个丰富系统中的每个(真或假)句子编号,又称它们的哥德尔编号,因此,由于假设丰富系统是健全的,因此会有可数的无限多个可证明为真的句子,每个句子都有自己的哥德尔编号。
实际上,每个句子的哥德尔数都在说 "我是可证实的,我是真的"。
这可能会让你想起笛卡尔的 "我思故我在",只要你想它或说它,它就必然是真的,而必然自我保证的自我推论事实本质上是相同的。
因此,哥德尔实际上将真理的定义映射到了系统本身。
第 12 步
然后,利用每个可证实为真的句子的哥德尔数,我们创建一个自上而下的可数无限垂直列表,列出所有可证实为真的句子。
第 13 步
然后,我们使用康托对角线化方法,来证明至少有一个证明为真的句子不在列表中。
第 14 步
根据假设,我们已经创建了一个,包含所有可证明为真的句子的可数无限列表,因此这样的句子一定是不可证明的。
而且,实际上,由于它的不可数或无穷哥德尔数,这个句子本身就说明它是不可证明的。
步骤 15.
但如果它是不可证的,那么,由于我们假定了完备性,根据模态法(每个真句都是可证的,但如果它不可证,那么它就不是真句,即它是假的),这个句子也必须是假的。
步骤 16.
但如果不可证明是假的,那么这个句子就必须是可证明的。
第17步
所以这个句子既可证明又不可证明:矛盾。
但比这更糟糕的是,如果且只有当这个句子不可证明时,它才是可证明的:悖论。
第 18 步
由于我们已经证明了这个系统,不仅包含一个无法证明的句子,而且包含一个矛盾(实际上是一个悖论),因此这个系统是不一致的(实际上是超不一致的),从经典逻辑的角度来看,这是一件非常糟糕的事情。
第 19 步
现在我们面临一个超级困难的系统选择:一致性还是完备性?
根据经典逻辑,为了保持系统的一致性,我们必须放弃它的完备性(即我们必须放弃所有真句子都是可证实的这一属性)。
步骤 20.
因此,每一个由皮亚诺算术公理和原始递归函数丰富起来的原理式系统,只要它是一致的,就包含真句但不可证的句子,
因此它是不完备的。这就是哥德尔的第一个不完备性定理。
第21步
这样一来,经典逻辑主义的计划也就失败了,因为为了在丰富的原理式系统中保留一致性,我们必须放弃完备性,因此数学中并非所有的真句子都是可证实的,因此数学在解释上并不能还原为逻辑。
第 22 步
现在,我们通过假设可证明性对于真(健全性)来说是充分的,并通过证明在一个丰富的原理式系统中,每一个可证明为真的句子都可以用它的哥德尔数来列出,正如我们在上面所看到的,哥德尔数实际上就是说它是真的,因此实际上是把真定义映射到了系统本身,从而得出了这个结论。
第 23 步
但正如我们所看到的,以这种方式把真理映射到系统中会导致不一致性,这是以系统的完备性为前提的。
第 24 步
因此,为了在不完备性的假设上证明任何这种丰富的原理式系统是一致的,我们必须在系统之外定义真理,也就是说,系统的一致性不能在系统本身内部证明。
这就是哥德尔第二不完备性定理。
第 25 步
有鉴于此,既然在经典弗雷格和/或怀特海与鲁塞尔的意义上,将数学还原为逻辑的逻辑主义的一个必要条件是,每一个真正的数学句子都可以在一个原理式的逻辑系统中得到证明,那么经典逻辑主义的计划就泡汤了。
第 26 步
我所说的科学和哲学意义上的虔诚,是指理性地接受某些事实为基本或原始的事实,这样,任何进一步试图用其他东西来解释或证明这些事实的努力,都会援引这些事实,从而导致自我毁灭式的循环。
例如,为了解释或论证逻辑,逻辑也必须被预设和使用,因此,任何试图用其他东西来解释或论证逻辑的尝试都已经预设了逻辑,并且是自我毁灭式的循环。
因此,更广义地说,除了逻辑本身之外,逻辑本身是无法解释或证明的,因此逻辑既无法解释,也无法证明,即在理性上是没有根据的。
这种困境被哈里-谢弗称为 "逻辑中心的困境":由于"逻各斯中心主义 "的困境,提出逻辑基础的尝试变得十分困难。
为了解释逻辑,我们必须预设并运用逻辑。
第 27 步。
现在,解决 "以逻辑为中心的困境 "的一种方法,就是简单地接受这种循环性;正如后来的维特根斯坦在《哲学研究》中谈到其他类似困境时所说的那样:
如果我已经穷尽了理由,我已经到达了基石,我的铲子已经转过来了。
那么我倾向于说: 这就是我所做的。
维特根斯坦的意思是,我们已经达到了解释,或论证的基本或原始起点,我们只需理性地接受这一点。
此外,要求进一步的解释和论证,会导致自我毁灭的循环。
反过来,从康德的角度来看,这种接受也可以被视为对一个超验事实的选择。
步骤 28.
那么,所说的形式虔诚是指理性地接受某些形式逻辑事实,作为形式逻辑解释和论证的基本,也可以说是超越性出发点。
相应地,哥德尔的不完备性定理,出色地体现了形式虔诚,因为:(1) 它们理性地接受了不完备性,将其视为任何丰富的原理式体系的基本事实,因此这种接受内置于我们的数学和逻辑概念本身。
(2) 它们理性地接受了真理,将其视为任何丰富的原理式体系的基本事实,而这一事实永远不会(完全)被可证性所捕获,它必须在任何此类体系之外被定义和认知。
更广义地说,康托尔的 "超验数 "数学,见证了更高维度的无限性,哥德尔的不完备性定理,见证了数学真理内在的非逻辑性,阿尔弗雷德-塔尔斯基的真理语义概念,见证了哥德尔不完备性、说谎者悖论和真理的语义反身性,所有这些都出色地体现了形式虔诚。
第 29 步
鉴于不完备性定理,哥德尔认为,逻辑上不可判定和不可证明的数学真理,必须直接通过数学直觉来认识。
反过来,这些逻辑上不可判定和不可证明的数学真理之一,一定是康托尔关于存在不可数的无限(又称无穷,又称超越数)的论断,因为对角线化需要康德所说的空间直觉,因此对角线化不是严格的逻辑。
步骤 30。
如果是这样,那么哥德尔完备性,既然以康托对角线化为前提,就需要康德意义上的空间直观。
因此,在康德哲学的背景下,这也就意味着数学是先验合成的,而不是分析的。
事实上,一些后古典分析哲学家认为,矛盾毕竟不是一件坏事,并相应地准备在体系中接纳矛盾,包括悖论。
不过,即使是那些狂野而疯狂、热爱矛盾、离经叛道的逻辑学家(又称辩证论者),仍然希望系统地排除爆炸,这种系统性的排除被称为旁证。
爆炸就是地狱。︎