人类走不出的“怪圈”，有多神奇？
公元1858年，德国数学家奥古斯特·费迪南德·默比乌斯（August Ferdinand Möbius，1790—1868）发现，一个扭转180°后再两头粘起来的纸条，具有魔术般的性质。
首先，这样的纸带不同于普通的纸带，普通纸带具有两个面(即双侧曲面)，一个正面，一个反面，因此两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面(即单侧曲面)，一只苍蝇可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘！
现在，我们把这种由默比乌斯发现的神奇的单面纸带，称为“默比乌斯带”。
拿一张白色长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端翻一个身，粘成一个默比乌斯带。
现在如上图所示用剪刀沿纸带的中央把它剪开。可能有人担心这么一剪，纸带便会剪成两半。不过，试一试你就会惊奇地发现，纸带不仅没有一分为二，反而像图中那样剪出一个两倍于原纸带长度的纸圈！
有趣的是，新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界虽然自身不打结，但却相互连在一起！为了让读者直观地看到这一不太容易想象出来的事实，我们可以把上述纸圈再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了!我们得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条线圈之中，只是每条线圈本身并不打结罢了，如下图所示。
默比乌斯带还有更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题，却不可思议地在默比乌斯带上获得了解决!
在普通空间无法实现的问题是“手套易位”问题。人左右两手的手套虽然极为相象，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去，也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套！
在自然界有许多物体也类似于手套，它们本身具备完全相象的对称部分，但一个是左手系的，另一个是右手系的，它们之间有着极大的不同。
下图画的是一只“扁平的猫”，规定这只猫只能在纸面上紧贴着纸行走。现在这只猫的头朝右。读者不难想象，只要这只猫紧贴着纸面，那么无论它怎么走动，它的头只能朝右。所以我们可以把这只猫称为“右侧扁平猫”。
“右侧扁平猫”之所以头始终朝右，是因为它不能离开纸面。假如允许它跑到空间中来，那么，任何一位读者都可以轻而易举地把它翻过一面，再放回到纸面上去，变成一只头朝左的“左侧扁平猫”。
现在让我们再看一看，在单侧的默比乌斯带上，扁平猫的遭遇究竟如何呢?下图画了一只“左侧扁平猫”，它紧贴着默比乌斯带走，走呀走，最后竟走成一只“右侧扁平猫”！
瞧！默比乌斯带是多么的神奇啊！扁平猫的故事给了我们一个启示：
在一个扭曲的面上，左、右手系的物体是可以通过扭曲实现转换的!如果读者发挥非凡的想象力，设想我们的空间在宇宙的某个边缘，呈现出默比乌斯带式的弯曲，那么，说不定有朝一日，我们的星际宇航员会带着左胸腔的心脏出发，却带着右胸腔的心脏返回地球！
下面是又一则有趣的故事。
传说古代有一位国王，他有5个儿子。老国王在临终前留下了一份遗嘱，要求在他死后把国土分成5块，每个孩子各得一块。不过，这5块土地中的每一块，都必须与其余4块相连，使得居住在每块土地上的人，可以不必经过第三块土地，而直接到达任何一块土地上去!至于每块土地的大小，则由儿子们自己协商解决。
后来老国王离开了人世。但在执行遗嘱的时候，5个儿子却为此大伤脑筋。老国王的原意是要他们5个人团结一致，互相帮助。但儿子们却发现，在地球表面上，这份遗嘱根本无法执行！
亲爱的读者，你能说出为什么老国王的遗嘱无法在地面上执行吗?假如故事中的老国王和他的儿子们是生活在神奇的默比乌斯带上，那么你能帮帮这几位可怜的王子，去执行他们父亲的遗嘱吗？
现在让我们再回到默比乌斯带的讨论上来。想必读者已经注意到，默比乌斯带具有一条非常明显的边界。这似乎是一种美中不足。1882年，另一位德国数学家菲利克斯·克里斯蒂安·克莱因(FelixChristianKlein，1849—1925)，终于找到了一种自我封闭而没有明显边界的模型，称为“克莱因瓶”。这种怪瓶实际上可以看作是由一对默比乌斯带沿边界粘合而成。因而克莱因瓶比默比乌斯带更具一般性。
克莱因瓶
奇异的默比乌斯带是拓扑学园地的一株奇葩！
拓扑，是英文Topology的译音，它研究几何图形在一对一连续变换下的不变性质。这种变换，虽然点与点之间的距离不被保持，但点的邻域却不允许跳离。
拓扑学创立于19世纪，奠定这门学科基础的，是被誉为“征服者”的法国数学家亨利·庞加莱(HenriPoincaré，1854—1912)。我国数学家吴文俊、江泽涵等人在拓扑学的研究方面，也曾做出过令世人瞩目的贡献！
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来源：原点阅读
编辑：阿泊
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