引言

数学成就

在数学上，毕达哥拉斯最著名的成就是毕达哥拉斯定理。这一定理描述了直角三角形中边长的关系：斜边的平方等于另外两边的平方和。具体来说，如果直角三角形的两个较短边长度分别为 a 和 b，斜边长度为 c，则它们满足等式。

证明

最早的证明来自于《几何原本》

构造和标记：构造直角三角形ABC，其中 ∠C 是直角。在三角形的边AB,BC,CA上分别构造正方形ABDE,BCFG,CAIH。

然后过点C，作一条平行于线段AE和BD的直线，交AB于K，交DE于L。连接AG、CD。有三角形ABG和三角形CBD。

因为BC=BG，BD=AB，∠CBD=∠ABC+∠ABD，∠ABG=∠ABC+∠CBG，因为正方形，所以∠ABD=∠CBG=90°。因此∠CBD=∠ABG。 根据初中知识，那么三角形ABG和三角形CBD全等。

又因为C、K、L于同一直线。四边形KBDL面积=BD×KB，三角形CBD面积=BD×KB×1/2，因此三角形CBD面积=1/2四边形KBDL面积。

又因为B、C、H于同一直线。同理，以BG为底计算三角形ABG面积，此时高为FG，也可得三角形ABG面积=1/2正方形BCFG面积。

又因为三角形ABG和三角形CBD全等，因此，四边形KBDL面积=正方形BCFG面积。

同理做另外一边的辅助线，也可得四边形KAEI面积=正方形ACHI面积。

而正方形ABDE面积=四边形KAEI面积+四边形KBDL面积=正方形ACHI面积+正方形BCFG面积。

此时，令AB=c，AC=b，BC=a。即有。

但这个证明方法，首先需要假设平行公理是正确的，但已经不是毕达哥拉斯时代的问题了。

其他成就

毕达哥拉斯除了在数学上的杰出贡献外，还在哲学、美学、政治、宗教和伦理学等领域有着重要的成就和影响：

哲学和形而上学：毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯主义，这是一种结合秘教和形而上学的思想学说，对后来的柏拉图主义产生了重要影响。

美学：在美学领域，毕达哥拉斯认为数字和比例与美的概念密切相关。他提出了黄金分割的概念，并将其应用于音乐和视觉艺术中。他认为和谐的音乐和比例协调的视觉形式与数学比例有着深刻的联系。

政治理论：在政治领域，毕达哥拉斯主义强调教育和精英统治的重要性。他们认为国家应该由受过良好教育的精英领导，以促进社会和谐和个人发展。

宗教和伦理学：毕达哥拉斯主义者信奉灵魂的转世和净化，认为通过音乐、数学和科学的研究可以净化心灵，从而实现灵魂的升华和轮回的超脱。

素食主义：毕达哥拉斯和他的追随者以素食而闻名，这是出于宗教、伦理和修行的原因，特别是由于他们相信转世和灵魂可能投生到其他动物的身上。

这些思想也对后世产生了重要的影响。

勾股定理

关于“勾股定理”的起源，存在着不同的历史记载和观点，这涉及了古中国、古巴比伦，以及古希腊三个文明。

中国古代的勾股定理： 中国古代的数学文献《周髀算经》中提到了这一定理，并且描述了称为“勾股数”的三元组，例如3、4、5。这表明中国古人对此定理有所认识。

若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。

————《周髀算经》卷上之二

勾股各自乘，并之，为弦实，开方除之，即弦。

古代中国对勾股定理的证明，主要有两个。

一是三国时期赵爽为证明勾股定理作“勾股圆方图”。

二是魏晋时期数学家刘徽的青朱出入图。原文为““勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。”

大意是，用2个正方形，一个是红色，边长是勾，一个是青色，边长是股，然后通过分割、拼接，然后成为一个新的大正方形，面积是弦方，开方后的边长是弦。

古巴比伦的记录： 古巴比伦文明中的普林普顿322号石板展示了数个符合勾股定理的三元数，这表明古巴比伦人在公元前约1800年已经知道这个定理。

毕达哥拉斯与古希腊： 尽管毕达哥拉斯被广泛称为勾股定理的发现者，但有证据表明他可能并不是最早知道这一定理的人。但他可能是第一个提出严格数学证明的人。

如果我们听听那些喜欢说古代历史的人，他们把这个定理归于毕达哥拉斯，并且说他杀了一百头公牛来庆祝。对我来说，虽然我欣赏那个第一个观察到这个定理的人，我更叹服《原本》的作者。不光是因为他给出了清晰明确的证明，而且还因为他用无可置疑的方法在第六篇中证明了一个更一般的命题。

从历史的角度来看，勾股定理是多个古代文明皆有独立发现的。由于数学是对自然界规律的普遍反映，不同文明可能在观察和解决实际问题中独立发现了这一定理。因此，关于勾股定理的起源，但不妨碍其发言对于当时所在的文明的进步意义，更长远的看，这项伟大的发现不应单一归功于某一文明或个人，而是应视为人类智慧的集体成果，是多个古代文明对数学认识进步的证明。

总结

当我们回顾毕达哥拉斯的一生与成就时，可以清晰地看到他作为一名哲学家、数学家和思想家的深远影响。毕达哥拉斯不仅在数学领域留下了重要的印记，尤其是通过他的勾股定理，他还在哲学、美学、政治和宗教伦理等领域提出了许多创新性的思想。他的理念强调了数字与美的关系，提倡基于教育的精英统治，并且在宗教与伦理方面提出了灵魂转世和净化的观念。总之，毕达哥拉斯的跨学科贡献不仅丰富了古希腊的文化和知识，也对后世产生了深远的影响。