高等数学里有三个地方有泰勒展开的内容，一是在一元函数微分学部分，为了利用多项式逼近函数，引出了泰勒展开的初级概念，给出了两个中值定理和泰勒公式。

由于不方面书写数学公式，这里使用图片，请见谅。

泰勒定理1：

泰勒定理 2 ：

下面对这两个定理进行分析：两个定理的主要不同之处在于其余项不一样（当然，定理1要求函数 n阶可导，定理2要求(n+1) 阶）。第一个定理的余项叫佩亚诺余项，用的是小 o (读作小欧），是 x 的更高阶无穷小 ；因为公式的目的是为了利用泰勒展开去近似某个函数，所以要求余项越小越好，（利用级数知识更明白）。这个定理和余项在求极限的时候经常用到，熟悉掌握后会极大地减少计算量，所以大家要记熟一些常用函数的泰勒展开公式。

第二个定理的余项叫拉格朗日余项，用到了函数的(n+1) 阶导数，因此更复杂些；其中的自由项 ξ 是许多证明题关注的地方。注意这个ξ 的取值范围，它是介于和 x 之间的，这点非常重要，在后面的例题中再仔细分析。总的来说，这部分的泰勒展开讨论余项居多。

第二个出现泰勒展开的地方是在级数部分（函数展开成幂级数）。讨论如何利用泰勒公式或者泰勒级数将函数展开成幂级数，关注点在展开技巧：利用已知基本函数的展开公式，比如指数函数，三角函数，对数函数，二项式函数等，再利用对幂级数进行求导或者求积等技巧，求出给定函数的幂级数（泰勒级数）；这里重点熟悉级数的一般项而非余项。

第三个出现泰勒展开的地方是多元微分学里，关于二元函数的泰勒展开，因为不在考试要求里，在此就不讨论了。

下面利用2023年考研数一第20 题（12分）进阶讲解下泰勒展开以及相关知识。

设函数在[-a,a]上具有 2 阶连续导数，证明：

（1）若，则存在 ξ [-a,a]， 使得

（2）若在[-a,a]内取得极值，则存在[-a,a]，使得

解答：由于书写问题，这里还是有图片给出解题过程，然后在详细解读：

遇到这类问题基本上都利用泰勒展开和中值定理。利用泰勒展开，第一步也是关键一步就是确定具体在哪个点展开。这是个重要知识点，一般在 0点、极值点、区间中点、或者题目中明显给出的点，需要做些题目，分析体会。

这第一问中给出了f(0）=0，所以很容易想到在 0 点展开。基本展开式中设 u 为随机量，但当分别带入a 和 -a 点时，这个量是不同的，而且属于不同的区间，第一个属于 (-a,0)，第二个属于 (0,a) ，这是个概念问题，请仔细体会分析。接下来的一个卡点是当做到 式子 (1) 的时候，利用了闭区间上连续函数的性质：最大最小值定理和介值定理，想到的话就不难了。这第一问所要求的理论概念还是挺多的。

再来看第二问：因为给出了极值点了，所以就在这个极值点展开，其过程和第一问差不多，重点是那两个随机量的取值范围，自己仔细研究研究，再慢慢体会；这个地方明白后，才可以利用学过的这些不等式。第二问其实比第一问简单。

而且属于不同的区间，第一个属于 (-a,0)，第二个属于 (0,a) ，这是个概念问题，请仔细体会分析。接下来的一个卡点是当做到 式子 (1) 的时候，利用了闭区间上连续函数的性质：最大最小值定理和介值定理，想到的话就不难了。这第一问所要求的理论概念还是挺多的。

再来看第二问：因为给出了极值点了，所以就在这个极值点展开，其过程和第一问差不多，重点是那两个随机量的取值范围，仔细研究慢慢体会；这个地方明白了后，才有后面的不等式证明。第二问其实比第一问容易。

进阶知识点：（1） 本题的知识点是几个定理：泰勒展开，闭区间连续函数的最大最小值定理以及介值定理。

（2）在哪个点进行泰勒展开？

（3）随机量的取值范围。

也算是技巧性问题吧，这些问题真正清晰后， 遇到此类问题就不会慌，从而找到解决方法。