求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。以下是对这些方法的详细讲解：

1、质因数分解法：把每个数分别分解质

因数，然后找出相同的质因数，最后将这些相同的质因数相乘得到最大公约数。例如：

已知两个数分别为24和36，将它们分别进行质因数分解：

24=2×2×2×3

36=2×2×3×3

可以看出，两个数的最大公因数为：

2×2×3=12

因此，24和36的最大公约数为12。

2、短除法：在求两个数的最大公约数时，如果无法进行质因数分解，可以采用短除法。短除法的步骤如下：将除数除以被除数得到商，然后用除数除以商得到余数，再用余数去除除数，如此反复，直到余数为零为止。最后将所有的除数相乘，得到的积即为最大公约数。例如：

已知两个数分别为18和24，可以使用短除法求解最大公约数：

18÷2=9

24÷2=12

9÷3=3

12÷3=4

2×3=6

因此，18和24的最大公约数为6：

（18,24）6

3、辗转相除法：辗转相除法是一种简单的求最大公约数的方法，其基本思想是：用较大的数除以较小的数得到商和余数，再用较小的数除以商得到新的商和余数，如此反复，直到余数为零为止。最后得到的积即为最大公约数。

例如：求985和457的最大公约数：

985÷457=2（余71）

457÷71=6（余31）

71÷31=2（余9）

31÷9=3（余4）

9÷4=2（余1）

4÷1=4（余0）

所以985和457的最大公约数为4.

4、更相减损法：更相减损法是一种古老的求最大公约数的方法。《九章算术》中记载：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。”其具体步骤为：

（如果需要对分数进行约分，那么）可以折半的话，就折半（也就是用2来约分）。如果不可以折半的话，那么就比较分母和分子的大小，用大数减去小数，互相减来减去，一直到减数与差相等为止，用这个相等的数字来约分。

第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个2的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

其中所说的“等数”，就是公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。

例1、用更相减损术求108与67的最大公约数。

解：由于67不是偶数，把大数减小数，并辗转相减：

108-67=41

67-41=26

41-26=15

26-15=11

15-11=4

11-4=7

所以，108和67的最大公约数等于7。

例2、用更相减损术求280和124的最大公约数。

解：由于280和124均为偶数，分别除以2得到140和62，再除以2得到70和31。

此时31是奇数而70是偶数，再用辗转相减法把70和31辗转相减：

70-31=39

39-31=7

所以，260与104的最大公约数等于7乘以第一步中约掉的两个2，即7*2*2=28。

以上就是求最大公约数的几种方法，可以根据实际情况选择合适的方法进行求解。